8.求曲面 ^2-z+xy=3 在点(2,1,0)处的切平面及法线方程.

步骤 1：确定曲面方程
给定的曲面方程为 ${e}^{2}-z+xy=3$。为了方便计算，我们将其重写为 $z = xy + e^2 - 3$。

步骤 2：计算偏导数
为了找到切平面，我们需要计算曲面在点(2,1,0)处的偏导数。偏导数表示曲面在该点处沿x和y方向的斜率。
- 对于 $z$ 关于 $x$ 的偏导数，我们有 $\frac{\partial z}{\partial x} = y$。
- 对于 $z$ 关于 $y$ 的偏导数，我们有 $\frac{\partial z}{\partial y} = x$。
在点(2,1,0)处，$\frac{\partial z}{\partial x} = 1$，$\frac{\partial z}{\partial y} = 2$。

步骤 3：确定切平面方程
切平面方程的一般形式为 $z - z_0 = \frac{\partial z}{\partial x}(x - x_0) + \frac{\partial z}{\partial y}(y - y_0)$，其中 $(x_0, y_0, z_0)$ 是切点的坐标。
将点(2,1,0)和偏导数代入，得到 $z - 0 = 1(x - 2) + 2(y - 1)$，简化后得到 $z = x + 2y - 4$。因此，切平面方程为 $x + 2y - z - 4 = 0$。

步骤 4：确定法线方程
法线方程是通过切点且垂直于切平面的直线方程。法线的方向向量是切平面的法向量，即 $(\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}, -1)$。在点(2,1,0)处，法向量为 $(1, 2, -1)$。
法线方程的一般形式为 $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$，其中 $(a, b, c)$ 是法向量，$(x_0, y_0, z_0)$ 是切点的坐标。
将点(2,1,0)和法向量代入，得到 $\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z - 0}{-1}$。由于点(2,1,0)在x-y平面上，所以法线方程中z的分量为0，即 $z = 0$。