题目
6.设a,b,c∈R^+(R^+表示全体正实数的集合).证明|sqrt(a^2)+b^(2)-sqrt(a^2)+c^(2)|leqslant|b-c|.你能说明此不等式的几何意义吗?
6.设a,b,c∈R$^{+}$(R$^{+}$表示全体正实数的集合).证明
$\left|\sqrt{a^{2}+b^{2}}-\sqrt{a^{2}+c^{2}}\right|\leqslant|b-c|$.
你能说明此不等式的几何意义吗?
题目解答
答案
将不等式左边有理化分子得：
\[
\left|\sqrt{a^2 + b^2} - \sqrt{a^2 + c^2}\right| = \left|\frac{b^2 - c^2}{\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + c^2}}\right| = \frac{|b - c||b + c|}{\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + c^2}}
\]
由于 $\sqrt{a^2 + b^2} \geq b$，$\sqrt{a^2 + c^2} \geq c$，故：
\[
\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + c^2} \geq b + c \implies \frac{|b - c||b + c|}{\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + c^2}} \leq |b - c|
\]
因此，原不等式成立。
**几何意义：**
在直角坐标系中，点 $(a, b)$ 和 $(a, c)$ 到原点的距离分别为 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 和 $\sqrt{a^2 + c^2}$。不等式表示这两点到原点距离之差的绝对值小于等于纵坐标之差的绝对值，符合三角形两边之差小于第三边的性质。
\[
\boxed{\left|\sqrt{a^2 + b^2} - \sqrt{a^2 + c^2}\right| \leq |b - c|}
\]
解析
考查要点：本题主要考查绝对值不等式的证明方法，涉及代数变形与几何意义的理解。
核心思路：通过有理化分子将左边表达式变形，利用分母的下界进行放缩，结合三角不等式的几何直观完成证明。
破题关键：
- 有理化分子消除根号差，转化为可比较的形式；
- 利用$\sqrt{a^2 + x^2} \geq x$的性质，比较分母与分子中的$b + c$；
- 几何意义需联系两点间距离与坐标差的关系。
步骤1：有理化分子
对左边表达式进行有理化：
$\begin{aligned}\left|\sqrt{a^2 + b^2} - \sqrt{a^2 + c^2}\right| &= \left|\frac{(\sqrt{a^2 + b^2} - \sqrt{a^2 + c^2})(\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + c^2})}{\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + c^2}}\right| \\&= \left|\frac{b^2 - c^2}{\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + c^2}}\right| \\&= \frac{|b - c||b + c|}{\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + c^2}}.\end{aligned}$
步骤2：比较分母与分子
注意到$\sqrt{a^2 + b^2} \geq b$和$\sqrt{a^2 + c^2} \geq c$，因此：
$\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + c^2} \geq b + c.$
步骤3：放缩不等式
将分母与$b + c$的关系代入原式：
$\frac{|b - c||b + c|}{\sqrt{a^2 + b^2} + \sqrt{a^2 + c^2}} \leq \frac{|b - c||b + c|}{b + c} = |b - c|.$
结论：原不等式成立。