题目

设 D 是平面直角坐标系中以 A(1,1), B(-1,1), C(1,-1) 为顶点的三角区域，D_1 是 D 的第二象限的部分，则 iint_(D) (xy + e^x^2 sin y) , dx , dy =A. 2 iint_(D_1) e^x^2 sin y , dx , dy.B. 2 iint_(D_1) xy , dx , dy.C. 4 iint_(D_1) (y + e^x^2 sin y) , dx , dy.D. 0.

设 $D$ 是平面直角坐标系中以 $A(1,1)$, $B(-1,1)$, $C(1,-1)$ 为顶点的三角区域，$D_1$ 是 $D$ 的第二象限的部分，则 $\iint_{D} (xy + e^{x^2} \sin y) \, dx \, dy =$

A. $2 \iint_{D_1} e^{x^2} \sin y \, dx \, dy$.

B. $2 \iint_{D_1} xy \, dx \, dy$.

C. $4 \iint_{D_1} (y + e^{x^2} \sin y) \, dx \, dy$.

D. $0$.

题目解答

答案

题目分析

已知积分区域 $D$ 是以 $A(1,1)$，$B(-1,1)$，$C(1,-1)$ 为顶点的三角形区域。我们需要计算二重积分：
$\iint_D (xy + e^{x^2} \sin y) \, dx \, dy$

首先，我们确定三角形 $D$ 的边界。

  • 顶点 $A(1,1)$ 和 $B(-1,1)$ 的连线是水平线 $y = 1$（$x$ 从 $-1$ 到 $1$）。
  • 顶点 $A(1,1)$ 和 $C(1,-1)$ 的连线是垂直线 $x = 1$（$y$ 从 $-1$ 到 $1$）。
  • 顶点 $B(-1,1)$ 和 $C(1,-1)$ 的连线，斜率为 $\frac{-1 - 1}{1 - (-1)} = -1$，方程为 $y - 1 = -1(x + 1)$，即 $y = -x$。

所以，区域 $D$ 是由直线 $y = 1$，$x = 1$ 和 $y = -x$ 围成的三角形。
观察这三个顶点，原点 $O(0,0)$ 恰好在边界 $y = -x$ 上。我们可以连接原点 $O$ 与顶点 $A(1,1)$，线段 $OA$ 所在的直线为 $y = x$。

区域划分

直线 $y = x$ 将三角形 $D$ 分为两部分：

  1. 上方区域 $D_2$：由 $y = 1$（上边界），$y = -x$（左下边界）和 $y = x$（右下边界）围成。
    • 顶点为 $B(-1,1)$，$A(1,1)$，$O(0,0)$。
    • 这个区域关于 $y$ 轴对称（因为 $y=1$ 对称，$y=-x$ 和 $y=x$ 关于 $y$ 轴对称）。
  2. 下方区域 $D_3$：由 $x = 1$（右边界），$y = -x$（左上边界）和 $y = x$（左下边界）围成。
    • 顶点为 $A(1,1)$，$C(1,-1)$，$O(0,0)$。
    • 这个区域关于 $x$ 轴对称（因为 $x=1$ 对称，$y=-x$ 和 $y=x$ 关于 $x$ 轴对称）。

题目中 $D_1$ 是 $D$ 在第二象限的部分。第二象限满足 $x < 0, y > 0$。
在 $D$ 中，第二象限的部分正是由 $x = -1$ 到 $0$，$y = -x$ 到 $1$ 之间的区域，即三角形 $B(-1,1), (-1,1), (0,0)$ 所在的 $D_2$ 的左半部分。
由于 $D_2$ 关于 $y$ 轴对称，所以 $D_1$ 是 $D_2$ 在 $y$ 轴左侧的部分，$D_2$ 在 $y$ 轴右侧的部分（第一象限的三角形 $O(0,0), (1,1), (0,1)$）记为 $D_1'$。

利用对称性计算积分

我们将积分拆分为两部分：
$I = \iint_D xy \, dx \, dy + \iint_D e^{x^2} \sin y \, dx \, dy = I_1 + I_2$

1. 分析区域 $D_3$（关于 $x$ 轴对称）：

  • $D_3$ 的顶点为 $(0,0), (1,1), (1,-1)$。
  • 被积函数 $f_1(x,y) = xy$ 关于 $y$ 是奇函数（$f_1(x,-y) = -xy = -f_1(x,y)$）。因为 $D_3$ 关于 $x$ 轴对称，所以 $\iint_{D_3} xy \, dx \, dy = 0$。
  • 被积函数 $f_2(x,y) = e^{x^2} \sin y$ 关于 $y$ 也是奇函数（$\sin(-y) = -\sin y$）。同理，$\iint_{D_3} e^{x^2} \sin y \, dx \, dy = 0$。
  • 因此，在整个 $D_3$ 上的积分为 $0$。

2. 分析区域 $D_2$（关于 $y$ 轴对称）：

  • $D_2$ 由 $y=1, y=x, y=-x$ 围成，分为左半部 $D_1$（第二象限）和右半部 $D_1'$（第一象限）。
  • 对于 $I_1$ 中的 $xy$：关于 $x$ 是奇函数。在关于 $y$ 轴对称的 $D_2$ 上，$\iint_{D_2} xy \, dx \, dy = 0$。
  • 对于 $I_2$ 中的 $e^{x^2} \sin y$：关于 $x$ 是偶函数（$x^2$ 不变）。在 $D_2$ 上，$\iint_{D_2} e^{x^2} \sin y \, dx \, dy = 2 \iint_{D_1} e^{x^2} \sin y \, dx \, dy$。

3. 汇总：

  • 总积分 $I = (\iint_{D_2} + \iint_{D_3}) (xy + e^{x^2} \sin y) \, dx \, dy = \iint_{D_2} xy + \iint_{D_2} e^{x^2} \sin y + 0 + 0$。
  • 代入上述结论：$I = 0 + 2 \iint_{D_1} e^{x^2} \sin y \, dx \, dy$。

结论

最终结果为 $2 \iint_{D_1} e^{x^2} \sin y \, dx \, dy$。

对应选项为 A。