题目

设随机变量X与Y相互独立，其概率密度函数分别为且分别服从参数为1和4的指数分布，则P(X< Y)=() A. 0.2B. 0.3C. 0.4D. 0.9

设随机变量$X$与$Y$相互独立，其概率密度函数分别为且分别服从参数为1和4的指数分布，则$P(X< Y)=$()

  • A. 0.2
  • B. 0.3
  • C. 0.4
  • D. 0.9

题目解答

答案

为了求解 $ P(X < Y) $，我们首先需要知道随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 的概率密度函数。由于 $ X $ 和 $ Y $ 分别服从参数为1和4的指数分布，它们的概率密度函数分别为： \[ f_X(x) = e^{-x} \quad \text{for} \quad x \geq 0 \] \[ f_Y(y) = 4e^{-4y} \quad \text{for} \quad y \geq 0 \] 由于 $ X $ 和 $ Y $ 相互独立，它们的联合概率密度函数为： \[ f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y) = e^{-x} \cdot 4e^{-4y} = 4e^{-x-4y} \quad \text{for} \quad x \geq 0, y \geq 0 \] 我们要求 $ P(X < Y) $，即 $ X $ 小于 $ Y $ 的概率。这可以通过在 $ x < y $ 的区域上积分联合概率密度函数来得到： \[ P(X < Y) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} 4e^{-x-4y} \, dx \, dy \] 首先，我们对 $ x $ 进行积分： \[ \int_{0}^{y} 4e^{-x-4y} \, dx = 4e^{-4y} \int_{0}^{y} e^{-x} \, dx = 4e^{-4y} \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{y} = 4e^{-4y} \left( -e^{-y} + 1 \right) = 4e^{-4y} \left( 1 - e^{-y} \right) \] 接下来，我们对 $ y $ 进行积分： \[ \int_{0}^{\infty} 4e^{-4y} \left( 1 - e^{-y} \right) \, dy = 4 \int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy - 4 \int_{0}^{\infty} e^{-5y} \, dy \] 我们分别计算这两个积分： \[ \int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy = \left[ -\frac{1}{4} e^{-4y} \right]_{0}^{\infty} = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \] \[ \int_{0}^{\infty} e^{-5y} \, dy = \left[ -\frac{1}{5} e^{-5y} \right]_{0}^{\infty} = 0 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5} \] 将这些结果代回原式，我们得到： \[ 4 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) = 4 \left( \frac{5}{20} - \frac{4}{20} \right) = 4 \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{5} = 0.2 \] 因此， $ P(X < Y) $ 的值为 $ \boxed{0.2} $。正确答案是 $ \boxed{A} $。

解析

本题考查指数分布的概率密度函数以及二维随机变量的概率计算。解题思路是先根据指数分布的性质写出随机变量$X$和$Y$的概率密度函数，再利用独立性得到它们的联合概率密度函数，最后通过在$x < y$的区域上对联合概率密度函数进行二重积分来计算$P(X < Y)$。

  1. 确定$X$和$Y$的概率密度函数：
    已知$X$服从参数为$1$的指数分布，$Y$服从参数为$4$的指数分布。根据指数分布的概率密度函数公式$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$（$x\geq0$），可得$X$的概率密度函数为$f_X(x) = e^{-x}$（$x \geq 0$），$Y$的概率密度函数为$f_Y(y) = 4e^{-4y}$（$y \geq 0$）。
  2. 计算联合概率密度函数：
    因为$X$和$Y$相互独立，根据相互独立随机变量的联合概率密度函数等于各自概率密度函数的乘积，可得它们的联合概率密度函数为：
    $f_{X,Y}(x,y) = f_X(x) f_Y(y) = e^{-x} \cdot 4e^{-4y} = 4e^{-x - 4y}$（$x \geq 0, y \geq 0$）。
  3. 计算$P(X < Y)$：
    $P(X < Y)$可以通过在$x < y$的区域上积分联合概率密度函数来得到，即：
    $P(X < Y) = \int_{0}^{\infty} \int_{0}^{y} 4e^{-x - 4y} \, dx \, dy$。
    • 先对$x$进行积分：
      $\int_{0}^{y} 4e^{-x - 4y} \, dx = 4e^{-4y} \int_{0}^{y} e^{-x} \, dx$
      根据积分公式$\int e^{-x}dx=-e^{-x}+C$，可得：
      $4e^{-4y} \int_{0}^{y} e^{-x} \, dx = 4e^{-4y} \left[ -e^{-x} \right]_{0}^{y} = 4e^{-4y} \left( -e^{-y} + 1 \right) = 4e^{-4y} \left( 1 - e^{-y} \right)$。
    • 再对$y$进行积分：
      $\int_{0}^{\infty} 4e^{-4y} \left( 1 - e^{-y} \right) \, dy = 4 \int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy - 4 \int_{0}^{\infty} e^{-5y} \, dy$。
      分别计算这两个积分：
      $\int_{0}^{\infty} e^{-4y} \, dy = \left[ -\frac{1}{4} e^{-4y} \right]_{0}^{\infty} = 0 + \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$；
      $\int_{0}^{\infty} e^{-5y} \, dy = \left[ -\frac{1}{5} e^{-5y} \right]_{0}^{\infty} = 0 + \frac{1}{5} = \frac{1}{5}$。
    • 将上述结果代回原式：
      $4 \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{5} \right) = 4 \left( \frac{5}{20} - \frac{4}{20} \right) = 4 \cdot \frac{1}{20} = \frac{1}{5} = 0.2$。