幂级数 sum_(n=1)^infty ((x-5)^n)/(sqrt(n)) 的收敛域是()A. (4,6]B. [4,6]C. (4,6)D. [4,6)

本题考查幂级数收敛域的求解，解题思路是先求出幂级数的收敛半径，再判断收敛区间端点处的敛散性，进而确定收敛域。

1. 求幂级数的收敛半径$R$：
   对于幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty} a_n(x - x_0)^n$（本题中$a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，$x_0 = 5$），可根据公式$\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| = \rho$（$\rho$为非负实数）来求收敛半径$(R$，当$\rho \neq 0$时，$R = \frac{1}{\rho}$；当$\rho = 0$时，$R = +\infty$；当$\rho = +\infty$时，$R = 0$。
   计算$\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right|$：
   已知$a_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，$a_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$，则$\lim\limits_{n \to \infty} \left|\frac{a_{n + 1}}{a_n}\right| = \lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n + 1}}}{\frac{1}{\sqrt{n}}}$
   $=\lim\limits_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{\sqrt{n + 1}} \times \sqrt{n}\}=\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{\frac{n}{n + 1}}$
   分子分母同时除以$n$可得：$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{\sqrt{\frac{n}{n^2 + n}}=\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{\frac{\frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}}}$
   当$n \to \infty$时，$\frac{1}{n} \to 0$，所以$\lim\limits_{n \to \infty} \sqrt{\frac{\frac{1}{}}{1 + \to \infty}} = 1$，即$\rho = 1$。
   根据收敛半径公式$R = \frac{frac{1}{\rho}$，可得$R = \frac{1}{1} = 1$。

2. 确定收敛区间：
   由收敛半径$R = 1$，可得幂级数的收敛区间为$(x_0 - R, x_0 + R)$，将$x_0 = 5$，$R = 1$代入可得收敛区间为$(5 - 1, 5 + 1)$，即$(4, 6)$。

3. 判断端点处的敛散性：

   • 当$x = 4$时：
     将$x = 4$代入幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 5)^n}{\sqrt{n}}$，得到$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(4 - 5)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。
     这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，对于交错级数$\sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^n u_n$（$u_n \gt 0$），$n = 1, 2, 3, \cdots$），若满足$u_n \geq u_{n + 1}$（$n = 1, 2, 3, \cdots$）且$\lim\limits_{n \to \infty} u_n = 0$，则该交错级数收敛。
     在$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}}$中，$u_n = \frac{1}{\sqrt{n}}$，显然$u_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \gt 0$，且$u_{n + 1} = \frac{frac{1}{\sqrt{n + 1}} \lt \frac{1}{\sqrt{n}} = u_n$，同时$\lim\limits_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$，满足莱布尼茨判别法的条件，所以$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$收敛。
   • 当$x = 6$时：
     将$x = 6$代入幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 5)^n}{\sqrt{n}}$，得到$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(6 - 5)^n}{\sqrt{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}}$。
     这是一个$p$级数，$p$级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$当$p \gt 1$时收敛，当$\leq 1$时发散，在$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}$中，$p = \frac{1}{2} \lt 1$，所以$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$发散。

4. 确定收敛域：
   因为幂级数在$x = 4$处收敛，在$x = 6$处发散，所以幂级数$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(x - 5)^n}{\sqrt{n}}$的收敛域是$[4, 6)$。