一、指出函数 =dfrac (C-{x)^2}(2x), (C为任意常数)是否为微分方程 (x+y)dx+xdy=0 的解?若-|||-是解,是否为通解?微分方程的通解是方程的全部解吗?

步骤 1：验证给定函数是否为微分方程的解
给定函数为 $y=\dfrac {C-{x}^{2}}{2x}$，其中 $C$ 为任意常数。首先，我们需要验证这个函数是否满足微分方程 $(x+y)dx+xdy=0$。
步骤 2：计算 $y$ 的导数
计算 $y$ 的导数 $y'$，即 $\dfrac{dy}{dx}$。根据给定的函数 $y=\dfrac {C-{x}^{2}}{2x}$，我们有：
$$
y' = \dfrac{d}{dx}\left(\dfrac {C-{x}^{2}}{2x}\right) = \dfrac{-2x\cdot2x-(C-x^2)\cdot2}{4x^2} = \dfrac{-2x^2-C+x^2}{2x^2} = \dfrac{-x^2-C}{2x^2}
$$
步骤 3：代入微分方程验证
将 $y$ 和 $y'$ 代入微分方程 $(x+y)dx+xdy=0$ 中，验证是否成立。
$$
(x+y)dx+xdy = (x+\dfrac {C-{x}^{2}}{2x})dx+x\cdot\dfrac{-x^2-C}{2x^2}dx = 0
$$
化简上式，得到：
$$
(x+\dfrac {C-{x}^{2}}{2x})dx+\dfrac{-x^2-C}{2x}dx = 0
$$
$$
\dfrac{2x^2+C-x^2}{2x}dx+\dfrac{-x^2-C}{2x}dx = 0
$$
$$
\dfrac{x^2+C}{2x}dx+\dfrac{-x^2-C}{2x}dx = 0
$$
$$
\dfrac{x^2+C-x^2-C}{2x}dx = 0
$$
$$
0 = 0
$$
因此，给定函数 $y=\dfrac {C-{x}^{2}}{2x}$ 满足微分方程 $(x+y)dx+xdy=0$。
步骤 4：判断是否为通解
由于 $C$ 是任意常数，因此给定函数 $y=\dfrac {C-{x}^{2}}{2x}$ 是微分方程 $(x+y)dx+xdy=0$ 的通解。
步骤 5：微分方程的通解是否为方程的全部解
微分方程的通解通常包含方程的所有解，但有时也可能存在一些特解，这些特解并不包含在通解中。因此，微分方程的通解不一定是方程的全部解。