5.(单选题，5分) Gamma是从点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段，则 int_(Gamma)xdx+ydy+(x+y-1)dz=()A. 13B. -13C. 20D. -20

本题考查对坐标的曲线积分的计算，解题思路是先求出直线段$\Gamma$的参数方程，然后将参数方程代入曲线积分表达式，最后根据定积分的计算方法求出结果。

1. 求直线段$\Gamma$的参数方程：
   已知直线段$\Gamma$是从点$A(1,1,1)$到点$B(2,3,4)$，设直线的参数方程为$\begin{cases}x = x_0 + at\\y = y_0 + bt\\z = z_0 + ct\end{cases}$（$t$为参数），其中$(x_0,y_0,z_0)$为直线上一点，$(a,b,c)$为直线的方向向量。
   直线的方向向量$\overrightarrow{AB}=(2 - 1,3 - 1,4 - 1)=(1,2,3)$，取$A(1,1,1)$，则直线段$\Gamma$的参数方程为$\begin{cases}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{cases}$，$t$的取值范围是从$0$到$1$（当$t = 0$时，$(x,y,z)=(1,1,1)$；当$t = 1$时，$(x,y,z)=(2,3,4)$）。
   同时，对$x,y,z$求微分可得$dx = dt$，$dy = 2dt$，$dz = 3dt$。
2. 将参数方程代入曲线积分表达式：
   将$\begin{cases}x = 1 + t\\y = 1 + 2t\\z = 1 + 3t\end{cases}$，$dx = dt$，$dy = 2dt$，$dz = 3dt$代入$\int_{\Gamma}xdx + ydy + (x + y - 1)dz$可得：
   $\begin{align*}&\int_{0}^{1}[(1 + t)\times1 + (1 + 2t)\times2 + ((1 + t) + (1 + 2t) - 1)\times3]dt\\=&\int_{0}^{1}(1 + t + 2 + 4t + (1 + 3t)\times3)dt\\=&\int_{0}^{1}(1 + t + 2 + 4t + 3 + 9t)dt\\=&\int_{0}^{1}(6 + 14t)dt\end{align*}$
3. 计算定积分：
   根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$，可得：
   $\begin{align*}\int_{0}^{1}(6 + 14t)dt&=\int_{0}^{1}6dt + \int_{0}^{1}14tdt\\&=6t\big|_{0}^{1}+14\times\frac{1}{2}t^2\big|_{0}^{1}\\&=6\times(1 - 0)+7\times(1^2 - 0^2)\\&=6 + 7\\&= 13\end{align*}$