由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长 lambda_(m) 与温度 T 成反比，即lambda_(m) T = b（常量），并近似计算 b 的数值，精确到两位有效数字。

考查要点：本题主要考查黑体辐射公式的应用及维恩位移定律的推导，涉及函数极值求解和物理常数的计算。

解题核心思路：

1. 转换表达式：将黑体辐射公式从频率形式转换为波长形式。
2. 引入无量纲变量：通过变量替换简化求极值过程。
3. 求函数极大值：通过求导找到关键参数，结合数值方法确定极值点。
4. 代入物理常数：计算维恩位移常数$b$的数值。

破题关键点：

• 变量替换：令$x = \frac{hc}{\lambda kT}$，将问题转化为关于$x$的函数$f(x) = \frac{x^5}{e^x - 1}$的极大值问题。
• 数值近似：通过求导并解方程确定$x \approx 4.965$，避免直接处理复杂表达式。

1. 黑体辐射公式转换

黑体辐射的能流密度公式（波长形式）为：
$u(\lambda, T) = \frac{8\pi hc}{\lambda^5} \cdot \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT}} - 1}$

2. 引入无量纲变量

令$x = \frac{hc}{\lambda kT}$，则$\lambda = \frac{hc}{xkT}$。代入公式得：
$u(\lambda, T) = \frac{8\pi k^4 T^4}{h^3 c^3} \cdot \frac{x^5}{e^x - 1}$
极大值问题转化为求$f(x) = \frac{x^5}{e^x - 1}$的极大值点。

3. 求函数极大值

对$f(x)$求导并令导数为零：
$\frac{df}{dx} = \frac{5x^4(e^x - 1) - x^5 e^x}{(e^x - 1)^2} = 0$
化简得方程：
$5(e^x - 1) - x e^x = 0 \quad \Rightarrow \quad e^x (5 - x) = 5$
通过数值方法求解得$x \approx 4.965$。

4. 计算常数$b$

由$\lambda_m T = \frac{hc}{xk}$，代入$x = 4.965$及物理常数：
$b = \frac{hc}{4.965k} = \frac{6.626 \times 10^{-34} \times 3.00 \times 10^8}{4.965 \times 1.381 \times 10^{-23}} \approx 2.9 \times 10^{-3} \, \text{m·K}$