27.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，当x∈(a,b)时，|f'(x)|≤M且int_(a)^bf(x)dx=0，证明：|f(a)|+|f(b)|≤M(b-a).

考查要点：本题主要考查积分中值定理和拉格朗日中值定理的综合应用，结合导数的界来估计函数值的线性组合。

解题核心思路：

1. 利用积分中值定理：由$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，找到一点$c \in [a,b]$，使得$f(c)=0$。
2. 应用拉格朗日中值定理：在区间$[a,c]$和$[c,b]$上分别展开，将$f(a)$和$f(b)$用导数表示，结合$|f'(x)| \leq M$进行放缩。
3. 不等式叠加：将两个区间的估计结果相加，得到最终结论。

破题关键点：

• 构造中间点$c$：通过积分中值定理确定$f(c)=0$，将原区间拆分为$[a,c]$和$[c,b]$。
• 导数的界控制函数值：通过拉格朗日中值定理将函数值与导数关联，利用$|f'(x)| \leq M$进行绝对值估计。

步骤1：应用积分中值定理

由题设$\int_{a}^{b}f(x)dx=0$，根据积分中值定理，存在$c \in [a,b]$，使得：
$\int_{a}^{b}f(x)dx = f(c)(b-a) = 0 \implies f(c) = 0.$

步骤2：在$[a,c]$上应用拉格朗日中值定理

在区间$[a,c]$上，$f(x)$连续且可导，由拉格朗日中值定理，存在$\xi_1 \in (a,c)$，使得：
$f(c) - f(a) = f'(\xi_1)(c - a).$
由于$f(c)=0$，整理得：
$f(a) = -f'(\xi_1)(c - a).$
取绝对值并利用$|f'(\xi_1)| \leq M$，得：
$|f(a)| \leq M(c - a).$

步骤3：在$[c,b]$上应用拉格朗日中值定理

同理，在区间$[c,b]$上，存在$\xi_2 \in (c,b)$，使得：
$f(b) - f(c) = f'(\xi_2)(b - c).$
由于$f(c)=0$，整理得：
$f(b) = f'(\xi_2)(b - c).$
取绝对值并利用$|f'(\xi_2)| \leq M$，得：
$|f(b)| \leq M(b - c).$

步骤4：叠加不等式

将上述两式相加：
$|f(a)| + |f(b)| \leq M(c - a) + M(b - c) = M(b - a).$