题目
已知函数f（x）=aln（x+1）-xex+1．（1）当a＜0时，求f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）存在正零点x0．（i）求a的取值范围；（ii）记x1为f（x）的极值点，证明：x0＜3x1．
已知函数f（x）=aln（x+1）-xex+1．
（1）当a＜0时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在正零点x0．
（i）求a的取值范围；
（ii）记x1为f（x）的极值点，证明：x0＜3x1．
（1）当a＜0时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）存在正零点x0．
（i）求a的取值范围；
（ii）记x1为f（x）的极值点，证明：x0＜3x1．
题目解答
答案
解：（1）由已知可得f（x）的定义域为（-1，+∞），且$f′（x）=\frac{a}{x+1}-（e^{x+1}+xe^{x+1}）=\frac{a-（x+1）^2e^{x+1}}{x+1}$，
因此当a＜0时，a-（x+1）2ex+1＜0，从而f'（x）＜0，
所以f（x）的单减区间是（-1，+∞），无单增区间；
（2）（i）由（1）知，$f'（x）=\frac{a-（x+1）^2e^{x+1}}{x-1}$，
令g（x）=a-（x+1）2ex+1，g'（x）=-（x2+4x+3）ex+1，
当x∈（-1，+∞）时，g'（x）=-（x2+4x+3）ex+1＜0，g（x）单调递减．
①当a≤0时，可知f′（x）＜0，f（x）在（-1，+∞）内单调递减，
又f（0）=0，故当x＞0时，f（x）＜0，所以f（x）不存在正零点；
②当0＜a≤e时，g（0）=a-e≤0，x∈（0，+∞），g（x）=a-（x+1）2ex+1＜0，
f（x）在（0，+∞）单调递减，故当x＞0时，f（x）＜0，函数f（x）不存在正零点；
③当a＞e时，lna-1＞0，此时g（0）=a-e＞0，g（lna-1）=a（1-lna）2＜0，
所以存在α∈（0，lna-1）满足g（α）=0，
所以f（x）在（-1，α）内单调递增，在（α，+∞）内单调递减．
令h（x）=hx-x+1，则当x＞0时，$h'（x）=\frac{1}{x}-1$，
故h（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，
从而当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即lnx＜x-1，
所以f（lna-1）=a[lnlna-（lna-1）]＜0，
又因为f（0）=0，所以f（α）＞0，
因此，此时存在正零点x0；
综上，实数a的取值范围为（e，+∞）；
（ii）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{f′（x_1）=0}\\{f（x_0）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=（x_{1}+1）^{2}e^{x_{1}+1}}\\{aln（x_{0}+1）=x_{0}e^{x_{0}+1}}\end{array}\right.$，
从而$ln（x_{0}+1）=\frac{x_{0}}{（x_{1}+1）^{2}}e^{x_{0}-x_{1}}$，即$e^{x_0-x_1}=\frac{（x_1+1）^2ln（x_0+1）}{x_0}$，
由（i）知当x＞1时，lnx＜x-1，即x＞0，有ln（x+1）＜x，
又x0＞x1＞0，故$e^{x_{0}-x_{1}}＜\frac{（x_{1}+1）^{2}x_{0}}{x_{0}}=（x_{1}+1）^{2}$，
两边取对数，得$lne^{x_0-x_1}＜2ln（x_1+1）$，
于是x0-x1＜2ln（x1+1）＜2x1，整理得x0＜3x1．
因此当a＜0时，a-（x+1）2ex+1＜0，从而f'（x）＜0，
所以f（x）的单减区间是（-1，+∞），无单增区间；
（2）（i）由（1）知，$f'（x）=\frac{a-（x+1）^2e^{x+1}}{x-1}$，
令g（x）=a-（x+1）2ex+1，g'（x）=-（x2+4x+3）ex+1，
当x∈（-1，+∞）时，g'（x）=-（x2+4x+3）ex+1＜0，g（x）单调递减．
①当a≤0时，可知f′（x）＜0，f（x）在（-1，+∞）内单调递减，
又f（0）=0，故当x＞0时，f（x）＜0，所以f（x）不存在正零点；
②当0＜a≤e时，g（0）=a-e≤0，x∈（0，+∞），g（x）=a-（x+1）2ex+1＜0，
f（x）在（0，+∞）单调递减，故当x＞0时，f（x）＜0，函数f（x）不存在正零点；
③当a＞e时，lna-1＞0，此时g（0）=a-e＞0，g（lna-1）=a（1-lna）2＜0，
所以存在α∈（0，lna-1）满足g（α）=0，
所以f（x）在（-1，α）内单调递增，在（α，+∞）内单调递减．
令h（x）=hx-x+1，则当x＞0时，$h'（x）=\frac{1}{x}-1$，
故h（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递减，
从而当x＞1时，h（x）＜h（1）=0，即lnx＜x-1，
所以f（lna-1）=a[lnlna-（lna-1）]＜0，
又因为f（0）=0，所以f（α）＞0，
因此，此时存在正零点x0；
综上，实数a的取值范围为（e，+∞）；
（ii）由题意，$\left\{\begin{array}{l}{f′（x_1）=0}\\{f（x_0）=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a=（x_{1}+1）^{2}e^{x_{1}+1}}\\{aln（x_{0}+1）=x_{0}e^{x_{0}+1}}\end{array}\right.$，
从而$ln（x_{0}+1）=\frac{x_{0}}{（x_{1}+1）^{2}}e^{x_{0}-x_{1}}$，即$e^{x_0-x_1}=\frac{（x_1+1）^2ln（x_0+1）}{x_0}$，
由（i）知当x＞1时，lnx＜x-1，即x＞0，有ln（x+1）＜x，
又x0＞x1＞0，故$e^{x_{0}-x_{1}}＜\frac{（x_{1}+1）^{2}x_{0}}{x_{0}}=（x_{1}+1）^{2}$，
两边取对数，得$lne^{x_0-x_1}＜2ln（x_1+1）$，
于是x0-x1＜2ln（x1+1）＜2x1，整理得x0＜3x1．
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数$f(x) = aln(x+1) - xe^{x+1}$的导数$f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = \frac{a}{x+1} - (e^{x+1} + xe^{x+1}) = \frac{a - (x+1)^2e^{x+1}}{x+1}$$
步骤 2：分析单调性
当$a < 0$时，由于$(x+1)^2e^{x+1}$总是正的，因此$a - (x+1)^2e^{x+1}$总是负的，从而$f'(x) < 0$。这意味着$f(x)$在定义域$(-1, +\infty)$上是单调递减的。
步骤 3：分析零点
对于函数$f(x)$存在正零点$x_0$，我们需要分析$a$的取值范围。首先，我们注意到$f(0) = 0$，因此如果$a \leq 0$，则$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递减，从而不存在正零点。当$a > 0$时，我们需要进一步分析。
步骤 4：求极值点
为了找到极值点$x_1$，我们需要解方程$f'(x) = 0$，即$a = (x+1)^2e^{x+1}$。这给出了极值点$x_1$的定义。
步骤 5：证明$x_0 < 3x_1$
为了证明$x_0 < 3x_1$，我们利用$f(x_0) = 0$和$f'(x_1) = 0$，以及对数函数的性质，来推导出$x_0$和$x_1$之间的关系。
首先，我们需要求出函数$f(x) = aln(x+1) - xe^{x+1}$的导数$f'(x)$。根据导数的定义，我们有：
$$f'(x) = \frac{a}{x+1} - (e^{x+1} + xe^{x+1}) = \frac{a - (x+1)^2e^{x+1}}{x+1}$$
步骤 2：分析单调性
当$a < 0$时，由于$(x+1)^2e^{x+1}$总是正的，因此$a - (x+1)^2e^{x+1}$总是负的，从而$f'(x) < 0$。这意味着$f(x)$在定义域$(-1, +\infty)$上是单调递减的。
步骤 3：分析零点
对于函数$f(x)$存在正零点$x_0$，我们需要分析$a$的取值范围。首先，我们注意到$f(0) = 0$，因此如果$a \leq 0$，则$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递减，从而不存在正零点。当$a > 0$时，我们需要进一步分析。
步骤 4：求极值点
为了找到极值点$x_1$，我们需要解方程$f'(x) = 0$，即$a = (x+1)^2e^{x+1}$。这给出了极值点$x_1$的定义。
步骤 5：证明$x_0 < 3x_1$
为了证明$x_0 < 3x_1$，我们利用$f(x_0) = 0$和$f'(x_1) = 0$，以及对数函数的性质，来推导出$x_0$和$x_1$之间的关系。