题目

五、证明题18、证明：级数sum_(n=1)^infty(-1)^n(n+2024)/(n(n^2)+1)cos(npi)/(3)绝对收敛.

五、证明题 18、证明：级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}cos\frac{n\pi}{3}$绝对收敛.

题目解答

答案

为了证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}\cos\frac{n\pi}{3}$绝对收敛，我们需要证明级数$\sum_{n=1}^{\infty}\left|(-1)^{n}\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}\cos\frac{n\pi}{3}\right|$收敛。这简化为证明$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}\cos\frac{n\pi}{3}\right|$收敛。 首先，注意到$\left|\cos\frac{n\pi}{3}\right|$的值是周期为6的，其值为$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \ldots$。因此，$\left|\cos\frac{n\pi}{3}\right| \leq 1$对所有$n$成立。 因此，我们有： \[ \left|\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}\cos\frac{n\pi}{3}\right| \leq \left|\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}\right| = \frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}. \] 接下来，我们需要分析级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}$的收敛性。我们可以将通项简化如下： \[ \frac{n+2024}{n(n^{2}+1)} \leq \frac{n+2024}{n^3} = \frac{n}{n^3} + \frac{2024}{n^3} = \frac{1}{n^2} + \frac{2024}{n^3}. \] 由于$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$和$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2024}{n^3}$都是收敛的$p$-级数（分别对于$p=2$和$p=3$），它们的和$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2} + \frac{2024}{n^3}\right)$也收敛。 根据比较测试，由于$\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)} \leq \frac{1}{n^2} + \frac{2024}{n^3}$且$\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^2} + \frac{2024}{n^3}\right)$收敛，可以得出$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}$收敛。 因此，$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}\cos\frac{n\pi}{3}\right|$收敛，这意味着原级数$\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\frac{n+2024}{n(n^{2}+1)}\cos\frac{n\pi}{3}$绝对收敛。 最终答案是： \[ \boxed{\text{级数绝对收敛.}} \]

解析

考查要点：本题主要考查级数的绝对收敛性证明，涉及比较判别法和p-级数的应用。

解题核心思路：
要证明级数绝对收敛，需证明其绝对值级数收敛。关键在于放缩通项，将其与已知收敛的级数比较。通过分析分母的增长速度和分子的结构，将通项拆分为两个可比较的p-级数之和。

破题关键点：

  1. 忽略cos项的绝对值：利用$\left|\cos\frac{n\pi}{3}\right| \leq 1$简化不等式。
  2. 分母放缩：将分母$n(n^2+1)$放大为$n^3$，简化分式结构。
  3. 拆分分子：将分子$n+2024$拆分为$n$和$2024$，分别对应$\frac{1}{n^2}$和$\frac{1}{n^3}$型级数。

步骤1：构造绝对值级数
原级数绝对收敛当且仅当$\sum_{n=1}^{\infty} \left| (-1)^n \frac{n+2024}{n(n^2+1)} \cos\frac{n\pi}{3} \right|$收敛。由于$\left| (-1)^n \right|=1$，可简化为：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2024}{n(n^2+1)} \left| \cos\frac{n\pi}{3} \right|.$

步骤2：分析$\cos\frac{n\pi}{3}$的绝对值
$\cos\frac{n\pi}{3}$的周期为6，其绝对值为$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \ldots$，因此$\left| \cos\frac{n\pi}{3} \right| \leq 1$。
故原级数绝对值级数可进一步放缩为：
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n+2024}{n(n^2+1)}.$

步骤3：分母放缩
当$n \geq 1$时，$n^2 + 1 \geq n^2$，因此：
$n(n^2 + 1) \geq n \cdot n^2 = n^3.$
从而通项满足：
$\frac{n+2024}{n(n^2+1)} \leq \frac{n+2024}{n^3} = \frac{n}{n^3} + \frac{2024}{n^3} = \frac{1}{n^2} + \frac{2024}{n^3}.$

步骤4：应用比较判别法
比较级数$\sum \left( \frac{1}{n^2} + \frac{2024}{n^3} \right)$，其中：

  • $\sum \frac{1}{n^2}$是$p$-级数（$p=2>1$），收敛；
  • $\sum \frac{2024}{n^3}$是$p$-级数（$p=3>1$），收敛。
    根据比较判别法，原级数绝对值级数收敛。