题目
3.2.6 下列(X,Y)的联合概率分布中,a,b各取什么值才能使X,Y独立?-|||-(1)-|||-Y-|||-1 2 3-|||-X-|||-1 .dfrac (1)(6) .dfrac (1)(9) .dfrac (1)(18)-|||-2 dfrac (1)(3) a b-|||-Y-|||-0 1 2-|||-X-|||-0 .dfrac (3)(10) a .dfrac (1)(5)-|||-1 b dfrac (1)(10) dfrac (1)(5)-|||-(2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定X和Y的边缘概率分布
首先，我们需要计算X和Y的边缘概率分布。对于X，我们有：
$P(X=1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{3}$
$P(X=2) = \dfrac{1}{3} + a + b$
对于Y，我们有：
$P(Y=1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}$
$P(Y=2) = \dfrac{1}{9} + a$
$P(Y=3) = \dfrac{1}{18} + b$
步骤 2：利用独立性条件
如果X和Y独立，那么联合概率分布可以表示为边缘概率分布的乘积。即：
$P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y)$
步骤 3：求解a和b
根据独立性条件，我们可以列出以下方程：
$\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{9} + a$
$\dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{18} + b$
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}$
$a = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{9}$
$b = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{18}$
解得：
$a = \dfrac{2}{9}$
$b = \dfrac{1}{9}$
首先，我们需要计算X和Y的边缘概率分布。对于X，我们有：
$P(X=1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{3}$
$P(X=2) = \dfrac{1}{3} + a + b$
对于Y，我们有：
$P(Y=1) = \dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{2}$
$P(Y=2) = \dfrac{1}{9} + a$
$P(Y=3) = \dfrac{1}{18} + b$
步骤 2：利用独立性条件
如果X和Y独立，那么联合概率分布可以表示为边缘概率分布的乘积。即：
$P(X=x, Y=y) = P(X=x) \cdot P(Y=y)$
步骤 3：求解a和b
根据独立性条件，我们可以列出以下方程：
$\dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{9} + a$
$\dfrac{1}{18} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{18} + b$
$\dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{2}$
$a = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{9}$
$b = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{18}$
解得：
$a = \dfrac{2}{9}$
$b = \dfrac{1}{9}$