题目
1、设z=arctan(x)/(y)，求dz|_(1,1).
1、设$z=\arctan\frac{x}{y}$，求dz|_(1,1).
题目解答
答案
设 $ z = \arctan \frac{x}{y} $，则
\[
z_x = \frac{y}{x^2 + y^2}, \quad z_y = -\frac{x}{x^2 + y^2}
\]
全微分 $ dz = z_x \, dx + z_y \, dy $，在点 $(1,1)$ 处有
\[
z_x(1,1) = \frac{1}{2}, \quad z_y(1,1) = -\frac{1}{2}
\]
因此，
\[
dz \bigg|_{(1,1)} = \frac{1}{2} \, dx - \frac{1}{2} \, dy
\]
或写为
\[
\boxed{\frac{1}{2}(dx - dy)}
\]
解析
步骤 1：计算偏导数
首先，我们需要计算函数 $z = \arctan \frac{x}{y}$ 的偏导数 $z_x$ 和 $z_y$。根据链式法则，我们有：
\[ z_x = \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^2 + y^2} \]
\[ z_y = \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{x^2 + y^2} \]
步骤 2：计算全微分
全微分 $dz$ 可以表示为：
\[ dz = z_x \, dx + z_y \, dy \]
将 $z_x$ 和 $z_y$ 的表达式代入，得到：
\[ dz = \frac{y}{x^2 + y^2} \, dx - \frac{x}{x^2 + y^2} \, dy \]
步骤 3：计算在点 $(1,1)$ 处的全微分
将点 $(1,1)$ 代入 $dz$ 的表达式中，得到：
\[ dz \bigg|_{(1,1)} = \frac{1}{1^2 + 1^2} \, dx - \frac{1}{1^2 + 1^2} \, dy = \frac{1}{2} \, dx - \frac{1}{2} \, dy \]
首先，我们需要计算函数 $z = \arctan \frac{x}{y}$ 的偏导数 $z_x$ 和 $z_y$。根据链式法则，我们有：
\[ z_x = \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \frac{1}{y} = \frac{y}{x^2 + y^2} \]
\[ z_y = \frac{1}{1 + \left(\frac{x}{y}\right)^2} \cdot \left(-\frac{x}{y^2}\right) = -\frac{x}{x^2 + y^2} \]
步骤 2：计算全微分
全微分 $dz$ 可以表示为：
\[ dz = z_x \, dx + z_y \, dy \]
将 $z_x$ 和 $z_y$ 的表达式代入，得到：
\[ dz = \frac{y}{x^2 + y^2} \, dx - \frac{x}{x^2 + y^2} \, dy \]
步骤 3：计算在点 $(1,1)$ 处的全微分
将点 $(1,1)$ 代入 $dz$ 的表达式中，得到：
\[ dz \bigg|_{(1,1)} = \frac{1}{1^2 + 1^2} \, dx - \frac{1}{1^2 + 1^2} \, dy = \frac{1}{2} \, dx - \frac{1}{2} \, dy \]