题目
例3.7.4 求解方程组 ) (x)_(1)-(x)_(2)-(x)_(3)+(x)_(4)=0 (x)_(1)-(x)_(2)+(x)_(3)-3(x)_(4)=1 (x)_(1)-(x)_(2)-2(x)_(3)+3(x) .
题目解答
答案
解析
步骤 1：写出增广矩阵
将方程组写成增广矩阵的形式，即：
$$
B = \left (\begin{matrix} 1& -1& -1& 1\\ 1& -1& 1& -3\\ 1& -1& -2& 3\end{matrix} \right )|\begin{matrix} 0\\ 1\\ 1\end{matrix} )
$$
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵B进行初等行变换，以简化矩阵。首先，执行 $r_2 - r_1$ 和 $r_3 - r_1$，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& -1& -1& 1\\ 0& 0& 2& -4\\ 0& 0& -1& 2\end{matrix} \right )|\begin{matrix} 0\\ 1\\ 1\end{matrix} )
$$
步骤 3：继续进行初等行变换
接下来，执行 $r_1 + \frac{1}{2}r_2$ 和 $r_3 + \frac{1}{2}r_2$，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& -1& 0& -1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} \right )|\begin{matrix} 0\\ 0\\ 1\end{matrix} )
$$
步骤 4：简化矩阵
最后，执行 $r_2 \times \frac{1}{2}$，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& -1& 0& -1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} \right )|\begin{matrix} 0\\ 0\\ 1\end{matrix} )
$$
步骤 5：分析矩阵
从简化后的矩阵可以看出，$R(A) = R(B) = 2$，因此方程组有解。根据矩阵，可以得到同解方程组：
$$
\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}={x}_{2}+{x}_{4}+\dfrac {1}{2}\\ {x}_{3}=\quad 2{x}_{4}+\dfrac {1}{2}\end{matrix} \right.
$$
步骤 6：求特解
取 ${x}_{2}={x}_{4}=0$，则 ${x}_{1}={x}_{3}=\dfrac {1}{2}$，即得方程组的一个特解 ${n}^{*}=$ $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$。
步骤 7：求通解
由例3.6.1，即得方程组的通解为：
$$
x = k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix} \quad (k_1, k_2 \in R)
$$
将方程组写成增广矩阵的形式，即：
$$
B = \left (\begin{matrix} 1& -1& -1& 1\\ 1& -1& 1& -3\\ 1& -1& -2& 3\end{matrix} \right )|\begin{matrix} 0\\ 1\\ 1\end{matrix} )
$$
步骤 2：进行初等行变换
对增广矩阵B进行初等行变换，以简化矩阵。首先，执行 $r_2 - r_1$ 和 $r_3 - r_1$，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& -1& -1& 1\\ 0& 0& 2& -4\\ 0& 0& -1& 2\end{matrix} \right )|\begin{matrix} 0\\ 1\\ 1\end{matrix} )
$$
步骤 3：继续进行初等行变换
接下来，执行 $r_1 + \frac{1}{2}r_2$ 和 $r_3 + \frac{1}{2}r_2$，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& -1& 0& -1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} \right )|\begin{matrix} 0\\ 0\\ 1\end{matrix} )
$$
步骤 4：简化矩阵
最后，执行 $r_2 \times \frac{1}{2}$，得到：
$$
\left (\begin{matrix} 1& -1& 0& -1\\ 0& 0& 1& -2\\ 0& 0& 0& 0\end{matrix} \right )|\begin{matrix} 0\\ 0\\ 1\end{matrix} )
$$
步骤 5：分析矩阵
从简化后的矩阵可以看出，$R(A) = R(B) = 2$，因此方程组有解。根据矩阵，可以得到同解方程组：
$$
\left \{ \begin{matrix} {x}_{1}={x}_{2}+{x}_{4}+\dfrac {1}{2}\\ {x}_{3}=\quad 2{x}_{4}+\dfrac {1}{2}\end{matrix} \right.
$$
步骤 6：求特解
取 ${x}_{2}={x}_{4}=0$，则 ${x}_{1}={x}_{3}=\dfrac {1}{2}$，即得方程组的一个特解 ${n}^{*}=$ $\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix}$。
步骤 7：求通解
由例3.6.1，即得方程组的通解为：
$$
x = k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ 0 \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{pmatrix} \quad (k_1, k_2 \in R)
$$