题目
6.填空题D=(x,y)|-1le xle 2,0le yle 2，则iintlimits_(D)4dsigma=_____.
6.填空题
$D=\{(x,y)|-1\le x\le 2,0\le y\le 2\}$，则$\iint\limits_{D}4d\sigma=$_____.
题目解答
答案
为了求解二重积分 $\iint\limits_{D}4d\sigma$，其中 $D=\{(x,y)|-1\le x\le 2,0\le y\le 2\}$，我们可以按照以下步骤进行：
1. **确定积分区域 $D$ 的面积**:
- 积分区域 $D$ 是一个矩形，其顶点为 $(-1,0)$, $(-1,2)$, $(2,0)$, $(2,2)$。
- 矩形的长度（沿 $x$ 轴）为 $2 - (-1) = 3$。
- 矩形的宽度（沿 $y$ 轴）为 $2 - 0 = 2$。
- 因此，矩形的面积 $A$ 为 $3 \times 2 = 6$。
2. **将二重积分转换为面积的倍数**:
- 二重积分 $\iint\limits_{D}4d\sigma$ 可以理解为函数 $f(x,y) = 4$ 在区域 $D$ 上的积分。
- 由于 $f(x,y) = 4$ 是一个常数函数，二重积分等于该常数乘以区域 $D$ 的面积。
- 即 $\iint\limits_{D}4d\sigma = 4 \times A = 4 \times 6 = 24$。
3. **写出最终答案**:
- 因此，$\iint\limits_{D}4d\sigma$ 的值为 $\boxed{24}$。
解析
步骤 1：确定积分区域 $D$ 的面积
- 积分区域 $D$ 是一个矩形，其顶点为 $(-1,0)$, $(-1,2)$, $(2,0)$, $(2,2)$。
- 矩形的长度（沿 $x$ 轴）为 $2 - (-1) = 3$。
- 矩形的宽度（沿 $y$ 轴）为 $2 - 0 = 2$。
- 因此，矩形的面积 $A$ 为 $3 \times 2 = 6$。
步骤 2：将二重积分转换为面积的倍数
- 二重积分 $\iint\limits_{D}4d\sigma$ 可以理解为函数 $f(x,y) = 4$ 在区域 $D$ 上的积分。
- 由于 $f(x,y) = 4$ 是一个常数函数，二重积分等于该常数乘以区域 $D$ 的面积。
- 即 $\iint\limits_{D}4d\sigma = 4 \times A = 4 \times 6 = 24$。
步骤 3：写出最终答案
- 因此，$\iint\limits_{D}4d\sigma$ 的值为 $\boxed{24}$。
- 积分区域 $D$ 是一个矩形，其顶点为 $(-1,0)$, $(-1,2)$, $(2,0)$, $(2,2)$。
- 矩形的长度（沿 $x$ 轴）为 $2 - (-1) = 3$。
- 矩形的宽度（沿 $y$ 轴）为 $2 - 0 = 2$。
- 因此，矩形的面积 $A$ 为 $3 \times 2 = 6$。
步骤 2：将二重积分转换为面积的倍数
- 二重积分 $\iint\limits_{D}4d\sigma$ 可以理解为函数 $f(x,y) = 4$ 在区域 $D$ 上的积分。
- 由于 $f(x,y) = 4$ 是一个常数函数，二重积分等于该常数乘以区域 $D$ 的面积。
- 即 $\iint\limits_{D}4d\sigma = 4 \times A = 4 \times 6 = 24$。
步骤 3：写出最终答案
- 因此，$\iint\limits_{D}4d\sigma$ 的值为 $\boxed{24}$。