3.6 计算oint_(c)(1)/(z^2)-zdz，其中C为圆周|z|=2.

本题考查复变函数中的柯西积分公式和留数定理的应用。解题思路是先将被积函数分解为部分分式，然后分别利用柯西积分公式计算各部分分式的积分，最后将结果相减得到原积分的值；也可以通过留数定理，计算函数在积分路径所围区域内极点的留数之和，进而得到积分值。

1. 将被积函数分解为部分分式：
   已知被积函数$f(z)=\frac{1}{z^{2}-z}$，对分母进行因式分解可得$z^{2}-z = z(z - 1)$。
   设$\frac{1}{z(z - 1)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z - 1}$，通分得到$\frac{1}{z(z - 1)}=\frac{A(z - 1)+Bz}{z(z - 1)}$。
   则$1 = A(z - 1)+Bz=(A + B)z - A$。
   由此可得方程组$\begin{cases}A + B = 0\\-A = 1\end{cases}$，解方程组：
   由$-A = 1$可得$A = -1$，将$A = -1$代入$A + B = 0$，可得$-1 + B = 0$，解得$B = 1$。
   所以$\frac{1}{z^{2}-z}=\frac{1}{z - 1}-\frac{1}{z}$。
2. 利用柯西积分公式计算积分：
   柯西积分公式为$\oint_{C}\frac{f(z)}{z - z_0}dz = 2\pi i f(z_0)$，其中$C$为正向简单闭曲线，$z_0$在$C$所围区域内，$f(z)$在$C$所围区域内解析。
   对于$\oint_{C}\frac{1}{z - 1}dz$，这里$f(z)=1$，\\(z_0 = 1\)，因为$|1| = 1\lt 2$，即$z_0 = 1$在圆周$C:|z| = 2$所围区域内，所以$\oint_{C}\frac{1}{z - 1}dz = 2\pi i\times1 = 2\pi i$。
   对于$\oint_{C}\frac{1}{z}dz$，这里$f(z)=1$，$z_0 = 0$，因为$|0| = 0\lt 2$，即$z_0 = 0$在圆周$C:|z| = 2$所围区域内，所以$\oint_{C}\frac{1}{z}dz = 2\pi i\times1 = 2\pi i$。
3. 计算原积分的值：
   $\oint_{C}\frac{1}{z^{2}-z}dz=\oint_{C}(\frac{1}{z - 1}-\frac{1}{z})dz=\oint_{C}\frac{1}{z - 1}dz-\oint_{C}\frac{1}{z}dz=2\pi i - 2\pi i = 0$。
4. 利用留数定理验证：
   留数定理为$\oint_{C}f(z)dz = 2\pi i\sum_{k = 1}^{n}\text{Res}[f(z),z_k]$，其中$C$为正向简单闭曲线，$z_k$为$f(z)$在$C$所围区域内的孤立奇点。
   函数$f(z)=\frac{1}{z^{2}-z}$的奇点为$z = 0$和$z = 1$，这两个奇点都在圆周$C:|z| = 2$所围区域内。
   计算$f(z)$在$z = 0$处的留数$\text{Res}[f(z),0]$：
   $f(z)=\frac{1}{z(z - 1)}=\frac{\frac{1}{z - 1}}{z}$，根据留数的定义，$\text{Res}[f(z),0]=\lim_{z\to0}z\cdot f(z)=\lim_{z\to0}\frac{1}{z - 1}=-1$。
   计算$f(z)$在$z = 1$处的留数$\text{Res}[f(z),1]$：
   $f(z)=\frac{1}{z(z - 1)}=\frac{\frac{1}{z}}{z - 1}$，根据留数的定义，$\text{Res}[f(z),1]=\lim_{z\to1}(z - 1)\cdot f(z)=\lim_{z\to1}\frac{1}{z}=1$。
   则$\sum_{k = 1}^{2}\text{Res}[f(z),z_k]=\text{Res}[f(z),0]+\text{Res}[f(z),1]=-1 + 1 = 0$。
   所以$\oint_{C}\frac{1}{z^{2}-z}dz = 2\pi i\times0 = 0$。