题目
设f(x)为连续函数，则(int )_(0)^2dx(int )_(x)^sqrt (3x)f(sqrt ({x)^2+(y)^2})dy=( )A(int )_(0)^2dx(int )_(x)^sqrt (3x)f(sqrt ({x)^2+(y)^2})dy=B(int )_(0)^2dx(int )_(x)^sqrt (3x)f(sqrt ({x)^2+(y)^2})dy=C以上都不对D(int )_(0)^2dx(int )_(x)^sqrt (3x)f(sqrt ({x)^2+(y)^2})dy=
设f(x)为连续函数，则
( )
A
B
C以上都不对
D
题目解答
答案
已知二次积分
，利用极坐标变换，令
，
，则区域满足
，故二次积分为
.
故答案为：B
解析
步骤 1：确定积分区域
首先，我们确定积分区域。给定的积分区域是$0 \leq x \leq 2$和$x \leq y \leq \sqrt{3x}$。这个区域在直角坐标系中是一个三角形区域，顶点在$(0,0)$，$(2,2)$和$(2,2\sqrt{3})$。
步骤 2：转换到极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标变换。令$x = r\cos\theta$和$y = r\sin\theta$。在极坐标系中，积分区域的边界由$\theta$和$r$的范围确定。由于$x$的范围是$0$到$2$，$y$的范围是$x$到$\sqrt{3x}$，我们得到$\theta$的范围是$\frac{\pi}{4}$到$\frac{\pi}{3}$，$r$的范围是$0$到$\frac{2}{\cos\theta}$。
步骤 3：计算积分
将原积分转换为极坐标形式，我们得到${\int }_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta {\int }_{0}^{\frac{2}{\cos\theta}}rf(r)dr$，其中$f(r) = f(\sqrt{x^2 + y^2})$。这正是选项B所描述的形式。
首先，我们确定积分区域。给定的积分区域是$0 \leq x \leq 2$和$x \leq y \leq \sqrt{3x}$。这个区域在直角坐标系中是一个三角形区域，顶点在$(0,0)$，$(2,2)$和$(2,2\sqrt{3})$。
步骤 2：转换到极坐标
为了简化积分，我们使用极坐标变换。令$x = r\cos\theta$和$y = r\sin\theta$。在极坐标系中，积分区域的边界由$\theta$和$r$的范围确定。由于$x$的范围是$0$到$2$，$y$的范围是$x$到$\sqrt{3x}$，我们得到$\theta$的范围是$\frac{\pi}{4}$到$\frac{\pi}{3}$，$r$的范围是$0$到$\frac{2}{\cos\theta}$。
步骤 3：计算积分
将原积分转换为极坐标形式，我们得到${\int }_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{3}}d\theta {\int }_{0}^{\frac{2}{\cos\theta}}rf(r)dr$，其中$f(r) = f(\sqrt{x^2 + y^2})$。这正是选项B所描述的形式。