设第一只盒子中装有3只蓝色球，2只绿色球，2只白色求，第二只盒子中装有2只蓝色球，3只绿色球，4只白色球，独立地分别在两只盒子中各取一只球。（1）求至少有一只蓝色球的概率；（2）求有一只蓝色球，一只白色球的概率；（3）已知至少有一只蓝色球，求有一只蓝色球、一只白色球的概率.

考查要点：本题主要考查独立事件的概率计算、补集思想的应用、条件概率的理解与计算。

解题核心思路：

1. 至少有一个事件发生的概率通常用补集法计算更简便；
2. 分类讨论不同事件组合的概率并求和；
3. 条件概率公式的应用，需明确事件间的包含关系。

破题关键点：

• 独立事件：两盒子取球互不影响，概率相乘；
• 事件分解：将复杂事件拆解为互斥的简单事件；
• 条件概率：注意分母为已知事件的概率，分子为联合概率。

第（1）题

至少有一只蓝色球的概率
补集法：

1. 计算都不取蓝色球的概率：
   • 第一盒不取蓝色的概率：$\dfrac{4}{7}$（2绿+2白）；
   • 第二盒不取蓝色的概率：$\dfrac{7}{9}$（3绿+4白）；
   • 联合概率：$\dfrac{4}{7} \times \dfrac{7}{9} = \dfrac{4}{9}$。
2. 至少一个蓝色的概率：
   $1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}.$

第（2）题

一只蓝色球，一只白色球的概率
分类讨论：

1. 第一盒蓝，第二盒白：
   $\dfrac{3}{7} \times \dfrac{4}{9} = \dfrac{12}{63}.$
2. 第一盒白，第二盒蓝：
   $\dfrac{2}{7} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{4}{63}.$
3. 总概率：
   $\dfrac{12}{63} + \dfrac{4}{63} = \dfrac{16}{63}.$

第（3）题

条件概率
公式应用：

1. 已知事件A（至少一蓝）的概率：$P(A) = \dfrac{5}{9}$；
2. 事件B（一蓝一白）的概率：$P(B) = \dfrac{16}{63}$；
3. 条件概率：
   $P(B|A) = \dfrac{P(B)}{P(A)} = \dfrac{\dfrac{16}{63}}{\dfrac{5}{9}} = \dfrac{16}{35}.$