题目
用极坐标计算下列二重积分:-|||-(iint )_(D)(x+y)dxdy, 其中 = (x,y)|{x)^2+(y)^2leqslant x+y} ;
题目解答
答案
解析
步骤 1：极坐标变换
将直角坐标系下的积分区域 $D$ 转换为极坐标系下的积分区域 $D'$。极坐标变换公式为 $\left \{ \begin{matrix} x=r\cos t\\ y=r\sin t\end{matrix} \right.$，其中 $r$ 是极径，$t$ 是极角。根据题目条件，$D=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant x+y\}$，转换为极坐标系下的条件为 $r^2 \leqslant r(\cos t + \sin t)$，即 $r \leqslant \cos t + \sin t$。因此，$D'$ 的极坐标表示为 $D'=\{ (r,t)|-\dfrac {\pi }{4}\leqslant t\leqslant \dfrac {3}{4}\pi ,0\leqslant r\leqslant \sin t+\cos t\}$。
步骤 2：计算二重积分
将原二重积分 ${\iint }_{D}(x+y)dxdy$ 转换为极坐标系下的二重积分 ${\iint }_{D'}(r\cos t + r\sin t)rdrdt$。根据极坐标系下的二重积分公式，$dxdy = rdrdt$，因此原二重积分可以表示为 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}d{\int }_{0}^{\sin t+\cos t}r^2(\cos t + \sin t)drdt$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}d{\int }_{0}^{\sin t+\cos t}r^2(\cos t + \sin t)drdt$。首先计算内层积分 ${\int }_{0}^{\sin t+\cos t}r^2(\cos t + \sin t)dr$，得到 $\dfrac{1}{3}(\sin t + \cos t)^3(\cos t + \sin t)$。然后计算外层积分 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}\dfrac{1}{3}(\sin t + \cos t)^3(\cos t + \sin t)dt$，得到 $\dfrac{1}{3}\int_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}(\sin t + \cos t)^4dt$。最后计算积分 $\dfrac{1}{3}\int_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}(\sin t + \cos t)^4dt$，得到 $\dfrac{1}{3}\int_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}\dfrac{3}{2} + 2\sin 2t - \dfrac{1}{2}\cos 4t dt$，计算结果为 $\dfrac{1}{3}(\dfrac{3}{2}t + \sin 2t - \dfrac{1}{8}\sin 4t)|_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}$，即 $\dfrac{1}{3}(\dfrac{3}{2}\dfrac{3\pi }{4} + \sin \dfrac{3\pi }{2} - \dfrac{1}{8}\sin 3\pi - \dfrac{3}{2}\dfrac{-\pi }{4} - \sin (-\dfrac{\pi }{2}) + \dfrac{1}{8}\sin (-\pi ))$，计算结果为 $\dfrac{1}{3}(\dfrac{9\pi }{8} - 1 + \dfrac{3\pi }{8} + 1)$，即 $\dfrac{1}{3}(\dfrac{12\pi }{8})$，即 $\dfrac{\pi }{2}$。
将直角坐标系下的积分区域 $D$ 转换为极坐标系下的积分区域 $D'$。极坐标变换公式为 $\left \{ \begin{matrix} x=r\cos t\\ y=r\sin t\end{matrix} \right.$，其中 $r$ 是极径，$t$ 是极角。根据题目条件，$D=\{ (x,y)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant x+y\}$，转换为极坐标系下的条件为 $r^2 \leqslant r(\cos t + \sin t)$，即 $r \leqslant \cos t + \sin t$。因此，$D'$ 的极坐标表示为 $D'=\{ (r,t)|-\dfrac {\pi }{4}\leqslant t\leqslant \dfrac {3}{4}\pi ,0\leqslant r\leqslant \sin t+\cos t\}$。
步骤 2：计算二重积分
将原二重积分 ${\iint }_{D}(x+y)dxdy$ 转换为极坐标系下的二重积分 ${\iint }_{D'}(r\cos t + r\sin t)rdrdt$。根据极坐标系下的二重积分公式，$dxdy = rdrdt$，因此原二重积分可以表示为 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}d{\int }_{0}^{\sin t+\cos t}r^2(\cos t + \sin t)drdt$。
步骤 3：计算积分
计算积分 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}d{\int }_{0}^{\sin t+\cos t}r^2(\cos t + \sin t)drdt$。首先计算内层积分 ${\int }_{0}^{\sin t+\cos t}r^2(\cos t + \sin t)dr$，得到 $\dfrac{1}{3}(\sin t + \cos t)^3(\cos t + \sin t)$。然后计算外层积分 ${\int }_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}\dfrac{1}{3}(\sin t + \cos t)^3(\cos t + \sin t)dt$，得到 $\dfrac{1}{3}\int_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}(\sin t + \cos t)^4dt$。最后计算积分 $\dfrac{1}{3}\int_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}(\sin t + \cos t)^4dt$，得到 $\dfrac{1}{3}\int_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}\dfrac{3}{2} + 2\sin 2t - \dfrac{1}{2}\cos 4t dt$，计算结果为 $\dfrac{1}{3}(\dfrac{3}{2}t + \sin 2t - \dfrac{1}{8}\sin 4t)|_{-\dfrac {\pi }{4}}^{\dfrac {3\pi }{4}}$，即 $\dfrac{1}{3}(\dfrac{3}{2}\dfrac{3\pi }{4} + \sin \dfrac{3\pi }{2} - \dfrac{1}{8}\sin 3\pi - \dfrac{3}{2}\dfrac{-\pi }{4} - \sin (-\dfrac{\pi }{2}) + \dfrac{1}{8}\sin (-\pi ))$，计算结果为 $\dfrac{1}{3}(\dfrac{9\pi }{8} - 1 + \dfrac{3\pi }{8} + 1)$，即 $\dfrac{1}{3}(\dfrac{12\pi }{8})$，即 $\dfrac{\pi }{2}$。