题目

设函数y=f(x)由方程(y)^2+(y)^2ln x-4=0所确定,则(y)^2+(y)^2ln x-4=0= ( )(y)^2+(y)^2ln x-4=0(y)^2+(y)^2ln x-4=0(y)^2+(y)^2ln x-4=0(y)^2+(y)^2ln x-4=0

设函数y=f(x)由方程 $xy^2+y^2\ln x-4=0$ 所确定,则 $\frac{dy}{dx}$ = ( )

$A-\frac{y(1+x)}{x(x+\ln x)}$

$B-\frac{y(1+x)}{2x\ln x}$

$C-\frac{y(1+x)}{2x^2}$

$D-\frac{y(1+x)}{2x(x+\ln x)}$

题目解答

答案

解：

由隐函数求导，根据函数的导数公式

方程 $xy^2+y^2\ln x-4=0$ 对x求导

$y^2+2xyy'+2yy'\ln x+\frac{y^2}{x}=0$

$y'=\frac{-\frac{y^2}{x}-y^2}{2xy+2y\ln x}=-\frac{y+xy}{2x^2+2x\ln x}=-\frac{y\left(1+x\right)}{2x\left(x+\ln x\right)}$

答案D

解析

步骤 1：隐函数求导
给定方程$x{y}^{2}+{y}^{2}\ln x-4=0$，我们首先对x求导，以找到y关于x的导数$y'$。根据隐函数求导法则，我们对等式两边同时求导。
步骤 2：求导
对$x{y}^{2}+{y}^{2}\ln x-4=0$求导，得到${y}^{2}+2xyy'+2yy'\ln x+\dfrac {{y}^{2}}{x}=0$。这里，我们使用了乘积法则和链式法则。
步骤 3：解出$y'$
将上式整理，得到$y'=\dfrac {-\dfrac {{y}^{2}}{x}-{y}^{2}}{2xy+2y\ln x}=-\dfrac {y(1+x)}{2x(x+\ln x)}$。这里，我们通过将$y'$的系数移到等式的一边，将$y'$的表达式解出。
步骤 4：求微分dy
根据$y'$的表达式，我们得到$dy=y'dx=-\dfrac {y(1+x)}{2x(x+\ln x)}dx$。