题目
设 A, B 均为 n 阶方阵，且 A(B-2E)=O，则必有()A. A=O 或 B=2EB. 2A=BAC. |A|=0 或 |B|=2D. |A|=0 或 |B-2E|=0
设 $A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，且 $A(B-2E)=O$，则必有()
A. $A=O$ 或 $B=2E$
B. $2A=BA$
C. $|A|=0$ 或 $|B|=2$
D. $|A|=0$ 或 $|B-2E|=0$
题目解答
答案
D. $|A|=0$ 或 $|B-2E|=0$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵乘法的性质、行列式的性质以及矩阵方程的推导能力。关键在于理解矩阵乘积为零矩阵时的可能情况，并结合行列式的性质进行分析。
解题核心思路：
- 矩阵乘积为零的条件：若两矩阵乘积为零矩阵，不能直接断定其中一个为零矩阵，需考虑矩阵的秩、可逆性等性质。
- 行列式的应用：若矩阵$A$可逆（即$|A| \neq 0$），则方程可化简为$B = 2E$，此时$|B - 2E| = 0$；若$A$不可逆（即$|A| = 0$），则条件自动满足。因此必有$|A|=0$或$|B-2E|=0$。
破题关键点：
- 分情况讨论：假设$A$可逆与不可逆两种情形，推导对应的结论。
- 排除法：通过分析选项中不严谨的表述（如选项A、B、C的绝对性或错误关联），排除错误选项。
已知条件：$A(B - 2E) = O$，其中$A, B$均为$n$阶方阵。
选项分析：
-
选项A：$A = O$或$B = 2E$
- 错误。矩阵乘积为零矩阵时，可能两个矩阵均非零，但存在线性相关性。例如，若$A$的列空间与$B-2E$的零空间重合，则乘积为零，但$A \neq O$且$B \neq 2E$。
-
选项B：$2A = BA$
- 错误。由原式得$AB = 2A$，但矩阵乘法不满足交换律，无法直接推出$BA = 2A$。
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选项C：$|A| = 0$或$|B| = 2$
- 错误。$|B| = 2$与原式中的$B - 2E$无直接关系。若$B - 2E$不可逆（即$|B - 2E| = 0$），$B$的行列式可以是任意值。
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选项D：$|A| = 0$或$|B - 2E| = 0$
- 正确。分两种情形讨论：
- 若$|A| \neq 0$：$A$可逆，方程两边左乘$A^{-1}$得$B - 2E = O$，即$|B - 2E| = 0$。
- 若$|A| = 0$：条件自动满足。
因此无论哪种情形，必有$|A| = 0$或$|B - 2E| = 0$。
- 正确。分两种情形讨论：