证明：方程^5+3(x)^2-7x=2-|||-__有且只有一个大于1的实根。

考查要点：本题主要考查利用连续函数的中间值定理证明存在性，以及通过导数判断函数单调性证明唯一性。

解题核心思路：

1. 构造函数：将方程转化为函数形式，便于分析零点。
2. 存在性证明：计算函数在特定点的值，利用中间值定理说明至少存在一个零点。
3. 唯一性证明：通过求导分析函数单调性，证明函数在区间内严格单调，从而唯一确定零点。

破题关键点：

• 选择合适的测试点（如$x=1$和$x=2$），计算函数值的符号变化。
• 导数的符号分析：通过一阶导数和二阶导数判断函数在区间内的单调性。

步骤1：构造函数并计算特定点的值

定义函数：
$f(x) = x^5 + 3x^2 - 7x - 2$

计算$x=1$和$x=2$处的函数值：

• 当$x=1$时：
  $f(1) = 1^5 + 3 \cdot 1^2 - 7 \cdot 1 - 2 = 1 + 3 - 7 - 2 = -5$
• 当$x=2$时：
  $f(2) = 2^5 + 3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 - 2 = 32 + 12 - 14 - 2 = 28$

步骤2：利用中间值定理证明存在性

由于$f(x)$在闭区间$[1, 2]$上连续，且$f(1) = -5 < 0$，$f(2) = 28 > 0$，根据中间值定理，存在$c \in (1, 2)$，使得$f(c) = 0$，即方程在$(1, 2)$内至少有一个实根。

步骤3：求导分析函数单调性

计算一阶导数：
$f'(x) = 5x^4 + 6x - 7$

计算二阶导数：
$f''(x) = 20x^3 + 6$

步骤4：判断导数的符号

• 当$x > 1$时，$f''(x) = 20x^3 + 6 > 0$，说明$f'(x)$在$x > 1$时严格递增。
• 计算$x=1$处的导数：
  $f'(1) = 5 \cdot 1^4 + 6 \cdot 1 - 7 = 5 + 6 - 7 = 4 > 0$
• 由于$f'(x)$在$x > 1$时递增且$f'(1) = 4 > 0$，因此对任意$x > 1$，有$f'(x) > 4 > 0$，即$f(x)$在$x > 1$时严格递增。

步骤5：唯一性证明

由于$f(x)$在$x > 1$时严格递增，且$f(1) < 0$，$f(2) > 0$，因此方程在$(1, 2)$内有且仅有一个零点，即唯一的大于1的实根。