题目

9.填空题已知f(x)=3x^2+1.则f[1,2,3,4]=____.第1空：——

9.填空题 已知$f(x)=3x^{2}+1$.则f[1,2,3,4]=____. 第1空： ——

题目解答

答案

为了求解 $ f[1,2,3,4] $ 的值，我们需要理解 $ f[1,2,3,4] $ 的含义。在数学中， $ f[x_1, x_2, \ldots, x_n] $ 表示函数 $ f $ 在点 $ x_1, x_2, \ldots, x_n $ 处的 $ n-1 $ 阶差商。对于一个二次函数 $ f(x) = ax^2 + bx + c $，它的三阶差商为0，因为二次函数的二阶差商是常数，而常数的差商为0。 给定的函数是 $ f(x) = 3x^2 + 1 $，这是一个二次函数。因此，它的三阶差商 $ f[1,2,3,4] $ 为0。 所以，答案是: \[ \boxed{0} \]

解析

考查要点：本题主要考查差商的概念及其在多项式函数中的性质，特别是二次函数的高阶差商特性。

解题核心思路：
对于多项式函数$f(x)$，其$n$阶差商的性质与函数次数密切相关。二次函数的三阶差商恒为0，这是由差商的递推性质决定的。

破题关键点：

  1. 明确$f[1,2,3,4]$表示三阶差商（四个点对应三阶）。
  2. 判断函数$f(x)=3x^2+1$是二次函数，因此其三阶差商必然为0。

差商的基本性质

  • 一阶差商：$f[x_1,x_2] = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
  • 二阶差商：$f[x_1,x_2,x_3] = \frac{f[x_2,x_3] - f[x_1,x_2]}{x_3-x_1}$
  • 三阶差商：$f[x_1,x_2,x_3,x_4] = \frac{f[x_2,x_3,x_4] - f[x_1,x_2,x_3]}{x_4-x_1}$

关键结论

  • 二次函数的二阶差商是常数，因此三阶差商为0。

具体验证（选读）

  1. 一阶差商：

    • $f[1,2] = \frac{f(2)-f(1)}{2-1} = \frac{13-4}{1} = 9$
    • $f[2,3] = \frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{28-13}{1} = 15$
    • $f[3,4] = \frac{f(4)-f(3)}{4-3} = \frac{49-28}{1} = 21$

  2. 二阶差商：

    • $f[1,2,3] = \frac{f[2,3]-f[1,2]}{3-1} = \frac{15-9}{2} = 3$
    • $f[2,3,4] = \frac{f[3,4]-f[2,3]}{4-2} = \frac{21-15}{2} = 3$

  3. 三阶差商：

    • $f[1,2,3,4] = \frac{f[2,3,4]-f[1,2,3]}{4-1} = \frac{3-3}{3} = 0$