假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作,若一周五个工作日里每天每天是否发生故障相互独立,试求一周五个工作日里发生三次故障的概率.

步骤 1：确定问题类型
这是一个二项分布问题，因为一周五个工作日里每天是否发生故障是相互独立的，且每次试验只有两种可能的结果：发生故障或不发生故障。

步骤 2：确定二项分布参数
设一周五个工作日里发生故障的次数为随机变量X，X服从二项分布B(n, p)，其中n=5（一周五个工作日），p=0.2（每天发生故障的概率）。

步骤 3：计算发生三次故障的概率
根据二项分布的概率公式，发生三次故障的概率为：
$$P(X=3) = {C}_{5}^{3} \times p^{3} \times (1-p)^{5-3}$$
其中，${C}_{5}^{3}$是组合数，表示从5天中选择3天发生故障的组合数，$p^{3}$表示3天发生故障的概率，$(1-p)^{5-3}$表示2天不发生故障的概率。

步骤 4：计算组合数和概率
$$P(X=3) = {C}_{5}^{3} \times 0.2^{3} \times 0.8^{2}$$
$$= 10 \times 0.2^{3} \times 0.8^{2}$$
$$= 10 \times 0.008 \times 0.64$$
$$= 0.0512$$