题目
13、填空 设D:0≤x≤a,-a≤y≤a,当n为奇数时，iintlimits_(D)x^my^ndxdy=____.
13、填空 设D:0≤x≤a,-a≤y≤a,当n为奇数时，$\iint\limits_{D}x^{m}y^{n}dxdy=$____.
题目解答
答案
为了求解二重积分 $\iint\limits_{D} x^m y^n \, dx \, dy$，其中 $D: 0 \leq x \leq a, -a \leq y \leq a$，且 $n$ 为奇数，我们可以按照以下步骤进行：
1. **将二重积分化为累次积分**:
\[
\iint\limits_{D} x^m y^n \, dx \, dy = \int_{0}^{a} \int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy \, dx
\]
2. **先对 $y$ 积分**:
\[
\int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy
\]
由于 $x^m$ 是关于 $x$ 的函数，它在对 $y$ 积分时可以看作常数，因此可以提到积分号外面:
\[
x^m \int_{-a}^{a} y^n \, dy
\]
3. **计算 $\int_{-a}^{a} y^n \, dy$**:
因为 $n$ 是奇数，函数 $y^n$ 是奇函数（即 $f(-y) = (-y)^n = -y^n = -f(y)$）。奇函数在对称区间 $[-a, a]$ 上的积分等于零:
\[
\int_{-a}^{a} y^n \, dy = 0
\]
4. **将结果代回累次积分**:
\[
x^m \int_{-a}^{a} y^n \, dy = x^m \cdot 0 = 0
\]
5. **对 $x$ 积分**:
\[
\int_{0}^{a} 0 \, dx = 0
\]
因此，二重积分 $\iint\limits_{D} x^m y^n \, dx \, dy$ 的值为:
\[
\boxed{0}
\]
解析
步骤 1：将二重积分化为累次积分
将二重积分 $\iint\limits_{D} x^m y^n \, dx \, dy$ 化为累次积分，其中 $D: 0 \leq x \leq a, -a \leq y \leq a$，得到：
\[ \iint\limits_{D} x^m y^n \, dx \, dy = \int_{0}^{a} \int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy \, dx \]
步骤 2：先对 $y$ 积分
由于 $x^m$ 是关于 $x$ 的函数，它在对 $y$ 积分时可以看作常数，因此可以提到积分号外面：
\[ \int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy = x^m \int_{-a}^{a} y^n \, dy \]
步骤 3：计算 $\int_{-a}^{a} y^n \, dy$
因为 $n$ 是奇数，函数 $y^n$ 是奇函数（即 $f(-y) = (-y)^n = -y^n = -f(y)$）。奇函数在对称区间 $[-a, a]$ 上的积分等于零：
\[ \int_{-a}^{a} y^n \, dy = 0 \]
步骤 4：将结果代回累次积分
将 $\int_{-a}^{a} y^n \, dy = 0$ 代回累次积分，得到：
\[ x^m \int_{-a}^{a} y^n \, dy = x^m \cdot 0 = 0 \]
步骤 5：对 $x$ 积分
\[ \int_{0}^{a} 0 \, dx = 0 \]
将二重积分 $\iint\limits_{D} x^m y^n \, dx \, dy$ 化为累次积分，其中 $D: 0 \leq x \leq a, -a \leq y \leq a$，得到：
\[ \iint\limits_{D} x^m y^n \, dx \, dy = \int_{0}^{a} \int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy \, dx \]
步骤 2：先对 $y$ 积分
由于 $x^m$ 是关于 $x$ 的函数，它在对 $y$ 积分时可以看作常数，因此可以提到积分号外面：
\[ \int_{-a}^{a} x^m y^n \, dy = x^m \int_{-a}^{a} y^n \, dy \]
步骤 3：计算 $\int_{-a}^{a} y^n \, dy$
因为 $n$ 是奇数，函数 $y^n$ 是奇函数（即 $f(-y) = (-y)^n = -y^n = -f(y)$）。奇函数在对称区间 $[-a, a]$ 上的积分等于零：
\[ \int_{-a}^{a} y^n \, dy = 0 \]
步骤 4：将结果代回累次积分
将 $\int_{-a}^{a} y^n \, dy = 0$ 代回累次积分，得到：
\[ x^m \int_{-a}^{a} y^n \, dy = x^m \cdot 0 = 0 \]
步骤 5：对 $x$ 积分
\[ \int_{0}^{a} 0 \, dx = 0 \]