题目

填空题设随机变量X的概率分布为 dfrac {3)(10) dfrac (3)(10) dfrac (1)(10) dfrac (1)(10), dfrac (1)(10), dfrac (1)(10)} ,随机变量Y是X的函数，其定义为将X的四个最小的概率分布合并为一个 dfrac {3)(10) dfrac (3)(10) dfrac (1)(10) dfrac (1)(10), dfrac (1)(10), dfrac (1)(10)} ,。H(X)=______ bit/sym，H(Y)= ______ bit/sym。(保留两位小数)

填空题

设随机变量X的概率分布为随机变量Y是X的函数，其定义为将X的四个最小的概率分布合并为一个。H(X)=______ bit/sym，H(Y)= ______ bit/sym。(保留两位小数)    

题目解答

答案

首先，我们需要计算随机变量X和Y的熵：

随机变量X的概率分布为

随机变量X的熵 H(X) 的计算公式为：

代入概率分布：

随机变量Y的概率分布为 

随机变量Y的熵 H(Y) 的计算公式为：

代入概率分布：

所以，

解析

步骤 1：计算随机变量X的熵
随机变量X的概率分布为$\{ \dfrac {3}{10},\dfrac {3}{10},\dfrac {1}{10},\dfrac {1}{10},\dfrac {1}{10},\dfrac {1}{10}\} $。熵的计算公式为：
$H(X)=-\sum _{i=1}^{n}p({x}_{i}){\log }_{2}P({x}_{i})$
代入概率分布，计算熵：
$H(X)=-\left(\dfrac {3}{10}{\log }_{2}\dfrac {3}{10}+\dfrac {3}{10}{\log }_{2}\dfrac {3}{10}+\dfrac {1}{10}{\log }_{2}\dfrac {1}{10}+\dfrac {1}{10}{\log }_{2}\dfrac {1}{10}+\dfrac {1}{10}{\log }_{2}\dfrac {1}{10}+\dfrac {1}{10}{\log }_{2}\dfrac {1}{10}\right)$
步骤 2：计算随机变量Y的熵
随机变量Y的概率分布为$\{ \dfrac {3}{10},\dfrac {3}{10},\dfrac {4}{10}\} $。熵的计算公式为：
$H(Y)=-\sum _{i=1}^{n}p({y}_{i}){\log }_{2}p({y}_{i})$
代入概率分布，计算熵：
$H(Y)=-\left(\dfrac {3}{10}{\log }_{2}\dfrac {3}{10}+\dfrac {3}{10}{\log }_{2}\dfrac {3}{10}+\dfrac {4}{10}{\log }_{2}\dfrac {4}{10}\right)$
步骤 3：计算并保留两位小数
计算步骤1和步骤2中的表达式，保留两位小数。