题目
10.已知函数 y=f(x) 在任意点x处的增量 Delta y=(dfrac (cos y)(1+{x)^2}+5+alpha )Delta x, 且当 Delta xarrow 0 时,α是无穷小,-|||-而 (0)=0, 则 '(0)= __
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解增量公式
给定的增量公式为 $\Delta y=(\dfrac {\cos y}{1+{x}^{2}}+5+\alpha )\Delta x$，其中 $\alpha$ 是当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时的无穷小量。这意味着当 $\Delta x$ 趋近于0时，$\alpha$ 也趋近于0。
步骤 2：应用可微定义
根据可微的定义，函数在某点的导数等于该点的增量与自变量增量比值的极限，即 $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$。将给定的增量公式代入，得到 $f'(x) = \dfrac {\cos y}{1+{x}^{2}}+5$。
步骤 3：计算 f'(0)
由于已知 f(0)=0，代入 $f'(x) = \dfrac {\cos y}{1+{x}^{2}}+5$ 中的 x=0 和 y=f(0)=0，得到 $f'(0) = \dfrac {\cos 0}{1+{0}^{2}}+5$。由于 $\cos 0 = 1$，因此 $f'(0) = 1 + 5 = 6$。
给定的增量公式为 $\Delta y=(\dfrac {\cos y}{1+{x}^{2}}+5+\alpha )\Delta x$，其中 $\alpha$ 是当 $\Delta x\rightarrow 0$ 时的无穷小量。这意味着当 $\Delta x$ 趋近于0时，$\alpha$ 也趋近于0。
步骤 2：应用可微定义
根据可微的定义，函数在某点的导数等于该点的增量与自变量增量比值的极限，即 $f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$。将给定的增量公式代入，得到 $f'(x) = \dfrac {\cos y}{1+{x}^{2}}+5$。
步骤 3：计算 f'(0)
由于已知 f(0)=0，代入 $f'(x) = \dfrac {\cos y}{1+{x}^{2}}+5$ 中的 x=0 和 y=f(0)=0，得到 $f'(0) = \dfrac {\cos 0}{1+{0}^{2}}+5$。由于 $\cos 0 = 1$，因此 $f'(0) = 1 + 5 = 6$。