27.(填空题，2.0分)定积分int_(0)^1(2x+1)dx=____

考查要点：本题主要考查定积分的基本计算方法，包括原函数的求解和牛顿-莱布尼兹公式的应用，或者利用积分的线性性质拆分计算。

解题核心思路：

1. 直接求原函数：找到被积函数$2x+1$的原函数，代入上下限计算差值。
2. 拆分积分：将积分拆分为$\int 2x \, dx$和$\int 1 \, dx$分别计算，再求和。

破题关键点：

• 正确求原函数：注意积分时系数和变量的对应关系。
• 代入上下限时的准确性：避免计算错误。

方法一：直接求原函数

1. 求原函数：
   被积函数$2x+1$的原函数为：
   $F(x) = \int (2x+1) \, dx = x^2 + x + C$
   （常数$C$在定积分中会被抵消，可忽略。）

2. 代入上下限：
   根据牛顿-莱布尼兹公式：
   $\int_{0}^{1} (2x+1) \, dx = F(1) - F(0) = (1^2 + 1) - (0^2 + 0) = 2 - 0 = 2$

方法二：拆分积分

1. 拆分被积函数：
   $\int_{0}^{1} (2x+1) \, dx = \int_{0}^{1} 2x \, dx + \int_{0}^{1} 1 \, dx$

2. 分别计算积分：

   • $\int_{0}^{1} 2x \, dx = \left[ x^2 \right]_{0}^{1} = 1^2 - 0^2 = 1$
   • $\int_{0}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{1} = 1 - 0 = 1$

3. 求和：
   $1 + 1 = 2$