题目
1. 讨论函数 (x)=1,-|||- ,xlt 0 1, x=0 2arctan dfrac {2)(x),xgt 0 . x=0 处的连续性.
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算左极限
计算 $x$ 趋向于 $0$ 的左极限，即 $x \to 0^{-}$ 时的函数值。根据函数定义，当 $x < 0$ 时，$f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$。因此，我们需要计算 $\lim_{x \to 0^{-}} \dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$。
步骤 2：计算右极限
计算 $x$ 趋向于 $0$ 的右极限，即 $x \to 0^{+}$ 时的函数值。根据函数定义，当 $x > 0$ 时，$f(x) = 2\arctan \dfrac{2}{x}$。因此，我们需要计算 $\lim_{x \to 0^{+}} 2\arctan \dfrac{2}{x}$。
步骤 3：比较左极限、右极限和函数值
比较左极限、右极限和函数在 $x=0$ 处的值，判断函数在 $x=0$ 处是否连续。
计算 $x$ 趋向于 $0$ 的左极限，即 $x \to 0^{-}$ 时的函数值。根据函数定义，当 $x < 0$ 时，$f(x) = \dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$。因此，我们需要计算 $\lim_{x \to 0^{-}} \dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}$。
步骤 2：计算右极限
计算 $x$ 趋向于 $0$ 的右极限，即 $x \to 0^{+}$ 时的函数值。根据函数定义，当 $x > 0$ 时，$f(x) = 2\arctan \dfrac{2}{x}$。因此，我们需要计算 $\lim_{x \to 0^{+}} 2\arctan \dfrac{2}{x}$。
步骤 3：比较左极限、右极限和函数值
比较左极限、右极限和函数在 $x=0$ 处的值，判断函数在 $x=0$ 处是否连续。