9-30 . 质量 =10g 的小球与轻弹簧组成一振动系统,按 x=-|||-.5cos (8pi t+dfrac (pi )(3)) (式中x的单位为cm,t的单位为s)的规律作自由振动,求:-|||-(1)振动的角频率、周期、振幅和初相;(2)振动的能量;(3)一个周期内的平均-|||-动能和平均势能.

考查要点：本题主要考查简谐振动的基本参数提取、能量计算以及平均动能与势能的分析。

解题思路：

1. 振动参数提取：将给定的振动方程与标准形式 $x=A\cos(\omega t+\varphi)$ 对比，直接读出振幅、角频率和初相，再通过公式 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ 计算周期。
2. 能量计算：利用简谐振动总能量公式 $E=\frac{1}{2}m\omega^2A^2$，注意单位换算。
3. 平均动能与势能：根据简谐振动能量的对称性，平均动能和平均势能均为总能量的一半。

关键点：

• 单位统一：质量 $m$ 需从克转换为千克，振幅 $A$ 需从厘米转换为米。
• 能量守恒：总能量在振动过程中保持不变，动能和势能的瞬时值虽变化，但平均值相等。

第（1）题

将 $x=0.5\cos(8\pi t+\frac{\pi}{3})$ 与标准形式 $x=A\cos(\omega t+\varphi)$ 对比：

• 振幅 $A=0.5\,\text{cm}$；
• 角频率 $\omega=8\pi\,\text{s}^{-1}$；
• 初相 $\varphi=\frac{\pi}{3}$；
• 周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{8\pi}=0.25\,\text{s}$。

第（2）题

总能量公式为：
$E=\frac{1}{2}m\omega^2A^2$
代入数据：

• $m=10\,\text{g}=0.01\,\text{kg}$；
• $A=0.5\,\text{cm}=0.005\,\text{m}$；
• $\omega=8\pi\,\text{s}^{-1}$；
  计算得：
  $E=\frac{1}{2}\cdot0.01\cdot(8\pi)^2\cdot(0.005)^2 \approx 7.90 \times 10^{-5}\,\text{J}$

第（3）题

简谐振动中，动能和势能的平均值均为总能量的一半：
$\overline{E_k}=\overline{E_p}=\frac{E}{2}=\frac{7.90 \times 10^{-5}}{2} \approx 3.95 \times 10^{-5}\,\text{J}$