梯形公式具有()次代数精度.A. 1B. 2C. 3D. 4

本题考查知识点为梯形公式的代数精度，解题思路是根据代数精度的定义，依次验证梯形公式对于不同次数多项式的积分近似情况。

梯形公式为$\int_{a}^{b}f(x)dx\approx\frac{b - a}{2}[f(a)+f(b)]$。

• 步骤一：验证$f(x)=1$时的情况
  对于$f(x)=1$，$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}1\cdot dx$，根据定积分基本公式$\int_{a}^{b}kdx=k(b - a)$（$k$为常数），可得$\int_{a}^{b}1\cdot dx=b - a$。
  而$\frac{b - a}{2}[f(a)+f(b)]=\frac{b - a}{2}(1 + 1)=b - a$，此时$\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{b - a}{2}[f(a)+f(b)]$，等式成立。
• 步骤二：验证$f(x)=x$时的情况
  对于$f(x)=x$，$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}x dx$，根据定积分基本公式$\int_{a}^{b}x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n+1}\big|_{a}^{b}$（$n\neq - 1$），可得$\int_{a}^{b}x dx=\frac{1}{2}x^{2}\big|_{a}^{b}=\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2})$。
  $\frac{b - a}{2}[f(a)+f(b)]=\frac{b - a}{2}(a + b)=\frac{1}{2}(b^{2}-a^{2})$，此时$\int_{a}^{b}f(x)dx=\frac{b - a}{2}[f(a)+f(b)]$，等式成立。
• 步骤三：验证$f(x)=x^{2}$时的情况
  对于$f(x)=x^{2}$，$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}x^{2}dx=\frac{1}{3}x^{3}\big|_{a}^{b}=\frac{1}{3}(b^{3}-a^{3})$。
  $\frac{b - a}{2}[f(a)+f(b)]=\frac{b - a}{2}(a^{2}+b^{2})=\frac{1}{2}(b - a)(a^{2}+b^{2})=\frac{1}{2}(b^{3}+b a^{2}-a^{3}-a b^{2})$。
  显然$\frac{1}{3}(b^{3}-a^{3})\neq\frac{1}{2}(b^{3}+b a^{2}-a^{3}-a b^{2})$，即$\int_{a}^{b}f(x)dx\neq\frac{b - a}{2}[f(a)+f(b)]$，等式不成立。

由于梯形公式对于$f(x)=1$和$f(x)=x$都能准确成立，而对于$f(x)=x^{2}$不能准确成立，根据代数精度的定义，若一个求积公式对于次数不超过$m$的多项式都能准确成立，而对于$m + 1$次多项式不能准确成立，则称该求积公式具有$m$次代数精度，所以梯形公式具有$1$次代数精度。