1.问当λ是什么数值时，齐次线性方程组}lambda x_(1)+x_(2)+2x_(3)=0x_(1)+lambda x_(2)-x_(3)=0lambda x_(3)=0有非零解？
题目解答
答案
将方程组的系数矩阵 $A$ 写为： $A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 2 \\ 1 & \lambda & -1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$ 计算行列式： $\det(A) = \lambda(\lambda^2 - 0) - 1(\lambda - 0) + 2(0 - 0) = \lambda^3 - \lambda$ 令行列式为零： $\lambda^3 - \lambda = 0 \implies \lambda(\lambda^2 - 1) = 0 \implies \lambda(\lambda - 1)(\lambda + 1) = 0$ 解得： $\lambda = 0, \quad \lambda = 1, \quad \lambda = -1$ 答案： $\boxed{-1, 0, 1}$
解析
本题考查齐次线性方程组有非零解的条件以及行列式的计算。解题思路是根据齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数矩阵的行列式为零，先写出方程组的系数矩阵，然后计算该矩阵的行列式，最后令行列式等于零，求解出$\lambda$的值。
步骤一：写出系数矩阵
对于齐次线性方程组$\begin{cases}\lambda x_{1}+x_{2}+2x_{3}=0\\x_{1}+\lambda x_{2}-x_{3}=0\\\lambda x_{3}=0\end{cases}$，其系数矩阵$A$为：
$A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 2 \\ 1 & \lambda & -1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$
步骤二：计算系数矩阵的行列式
根据三阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}=a_{11}\begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}-a_{12}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{vmatrix}+a_{13}\begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{vmatrix}$，计算$\det(A)$：
$\begin{align*}\det(A)&=\lambda\begin{vmatrix}\lambda& -1\\0& \lambda\end{vmatrix}-1\begin{vmatrix}1& -1\\0& \lambda\end{vmatrix}+2\begin{vmatrix}1& \lambda\\0& 0\end{vmatrix}\\&=\lambda(\lambda^2 - 0) - 1(\lambda - 0) + 2(0 - 0)\\&=\lambda^3 - \lambda\end{align*}$
步骤三：令行列式为零，求解$\lambda$
因为齐次线性方程组有非零解的充要条件是$\det(A)=0$，所以令$\lambda^3 - \lambda = 0$，对其进行因式分解：
$\lambda^3 - \lambda = \lambda(\lambda^2 - 1)=\lambda(\lambda - 1)(\lambda + 1)=0$
则$\lambda = 0$或$\lambda - 1 = 0$或$\lambda + 1 = 0$，解得$\lambda = 0$，$\lambda = 1$，$\lambda = -1$。