2.用极坐标计算下列二重积分:-|||-(1) iint sin sqrt ({x)^2+(y)^2}dxdy, 其中 = (x,y)|{n)^2leqslant (x)^2+(y)^2leqslant 4(pi )^2} ;

步骤 1：转换为极坐标
将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分。在极坐标系中，$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = rdrd\theta$。因此，原积分可以写为：
$$\iint_{D} \sin \sqrt{x^2 + y^2} dxdy = \int_{0}^{2\pi} \int_{\pi}^{2\pi} \sin r \cdot r dr d\theta$$
步骤 2：计算内层积分
首先计算内层积分，即对$r$的积分：
$$\int_{\pi}^{2\pi} \sin r \cdot r dr$$
使用分部积分法，设$u = r$，$dv = \sin r dr$，则$du = dr$，$v = -\cos r$。因此，内层积分可以写为：
$$\int_{\pi}^{2\pi} \sin r \cdot r dr = -r\cos r \bigg|_{\pi}^{2\pi} + \int_{\pi}^{2\pi} \cos r dr$$
$$= -2\pi\cos(2\pi) + \pi\cos(\pi) + \sin r \bigg|_{\pi}^{2\pi}$$
$$= -2\pi + \pi + 0 = -\pi$$
步骤 3：计算外层积分
将内层积分的结果代入外层积分，即对$\theta$的积分：
$$\int_{0}^{2\pi} -\pi d\theta = -\pi \theta \bigg|_{0}^{2\pi} = -2\pi^2$$