题目
5-21 一无限长均匀带电圆柱,电荷体密度为ρ,截面半径为a。-|||-(1)用高斯定理求出柱内外电场强度的分布;-|||-(2)求出柱内外的电势分布,以轴线为势能零点。
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定高斯面
为了应用高斯定理，我们选择一个与圆柱轴线同轴的圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L。高斯面的侧面与圆柱的侧面平行，底面与圆柱的底面平行。
步骤 2：计算高斯面内的电荷量
高斯面内的电荷量Q由圆柱体的电荷体密度ρ和高斯面的体积决定。当r≤a时，高斯面完全在圆柱内部，电荷量为Q=ρπr²L。当r>a时，高斯面部分在圆柱外部，电荷量为Q=ρπa²L。
步骤 3：应用高斯定理
高斯定理表明，通过高斯面的电通量等于高斯面内电荷量除以真空介电常数ε₀。因此，电场强度E与高斯面的半径r的关系为E×2πrL=Q/ε₀。将步骤2中的电荷量Q代入，得到E的表达式。
步骤 4：计算电势分布
电势U由电场强度E沿径向积分得到。当r≤a时，电势U=-∫E·dr。当r>a时，电势U=-∫E·dr，积分的下限为a，上限为r。积分时，注意电势的零点在轴线上。
为了应用高斯定理，我们选择一个与圆柱轴线同轴的圆柱形高斯面，其半径为r，长度为L。高斯面的侧面与圆柱的侧面平行，底面与圆柱的底面平行。
步骤 2：计算高斯面内的电荷量
高斯面内的电荷量Q由圆柱体的电荷体密度ρ和高斯面的体积决定。当r≤a时，高斯面完全在圆柱内部，电荷量为Q=ρπr²L。当r>a时，高斯面部分在圆柱外部，电荷量为Q=ρπa²L。
步骤 3：应用高斯定理
高斯定理表明，通过高斯面的电通量等于高斯面内电荷量除以真空介电常数ε₀。因此，电场强度E与高斯面的半径r的关系为E×2πrL=Q/ε₀。将步骤2中的电荷量Q代入，得到E的表达式。
步骤 4：计算电势分布
电势U由电场强度E沿径向积分得到。当r≤a时，电势U=-∫E·dr。当r>a时，电势U=-∫E·dr，积分的下限为a，上限为r。积分时，注意电势的零点在轴线上。