[题目]-|||-积分 (int )_(0)^2dx(int )_(x)^2(e)^-(y^2)dy 的值等于 __

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，特别是交换积分顺序的应用。当被积函数在某一变量上的积分无法直接求出时，通过调整积分顺序简化计算是关键。

解题核心思路：

1. 识别积分区域：原积分区域为 $0 \leq x \leq 2$，$x \leq y \leq 2$，对应平面区域是一个三角形。
2. 交换积分顺序：将积分顺序从先$y$后$x$调整为先$x$后$y$，此时$y$的范围变为$0 \leq y \leq 2$，而$x$的范围为$0 \leq x \leq y$。
3. 简化积分：交换后内层积分对$x$积分，结果为$y$，从而将原积分转化为对$y$的单变量积分，利用代换法即可求解。

步骤1：交换积分顺序

原积分区域为 $0 \leq x \leq 2$，$x \leq y \leq 2$，交换积分顺序后，积分区域变为 $0 \leq y \leq 2$，$0 \leq x \leq y$。因此原积分可改写为：
$\int_{0}^{2} \int_{0}^{y} e^{-y^{2}} \, dx \, dy$

步骤2：计算内层积分

内层积分对$x$积分，$e^{-y^{2}}$与$x$无关，因此：
$\int_{0}^{y} e^{-y^{2}} \, dx = e^{-y^{2}} \cdot \int_{0}^{y} dx = e^{-y^{2}} \cdot y = y e^{-y^{2}}$

步骤3：计算外层积分

外层积分变为：
$\int_{0}^{2} y e^{-y^{2}} \, dy$
令 $u = -y^{2}$，则 $du = -2y \, dy$，即 $- \frac{1}{2} du = y \, dy$。积分上下限变为：

• 当 $y = 0$ 时，$u = 0$；
• 当 $y = 2$ 时，$u = -4$。

代入得：
$\int_{0}^{2} y e^{-y^{2}} \, dy = -\frac{1}{2} \int_{0}^{-4} e^{u} \, du = -\frac{1}{2} \left[ e^{u} \right]_{0}^{-4} = -\frac{1}{2} \left( e^{-4} - 1 \right) = \frac{1 - e^{-4}}{2}$