题目
一、函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定【例4】(1987，数三)f(x)=|xsinx|e^cosx(-∞<+∞)是(A)有界函数. (B)单调函数.(C)周期函数. (D)偶函数.
一、函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定
【例4】(1987，数三)f(x)=|xsinx|e^{cosx}(-∞<+∞)是
(A)有界函数. (B)单调函数.
(C)周期函数. (D)偶函数.
题目解答
答案
**答案：D**
**解析：**
A. **有界性**：
$ f(x) = |x \sin x| e^{\cos x} $ 中，$ |x \sin x| $ 随 $ x $ 增大无界（因 $ x $ 线性增长），而 $ e^{\cos x} $ 有界（在 $[e^{-1}, e]$ 内）。
故 $ f(x) $ 无界，排除 A。
B. **单调性**：
$ |x \sin x| $ 在 $ x $ 增大时振荡，$ e^{\cos x} $ 周期变化，导致 $ f(x) $ 在不同区间内增减，非单调，排除 B。
C. **周期性**：
$ |x \sin x| $ 非周期（$ x $ 线性增长），$ e^{\cos x} $ 周期为 $ 2\pi $，故 $ f(x) $ 非周期，排除 C。
D. **奇偶性**：
$ f(-x) = |-x \sin(-x)| e^{\cos(-x)} = |x \sin x| e^{\cos x} = f(x) $，
故 $ f(x) $ 为偶函数，选项 D 正确。
**结论：** 正确选项为 $\boxed{D}$。
解析
本题考查函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性的判定。解题核心思路是逐项分析：
- 有界性：判断函数值是否被某个常数限制；
- 单调性：分析函数是否整体递增或递减；
- 周期性：验证是否存在周期$T$使$f(x+T)=f(x)$；
- 奇偶性：通过$f(-x)$与$f(x)$的关系判断。
破题关键在于分解函数$f(x)=|x \sin x| \cdot e^{\cos x}$，分别分析各部分特性对整体性质的影响。
选项A：有界函数
- 分析：
- $|x \sin x|$中，$\sin x$有界（$|\sin x| \leq 1$），但$x$无界，故$|x \sin x| \approx |x|$，当$x \to \infty$时无界。
- $e^{\cos x}$有界（$\cos x \in [-1,1]$，故$e^{\cos x} \in [e^{-1}, e]$）。
- 整体：$|x \sin x| \cdot e^{\cos x}$无界，故排除A。
选项B：单调函数
- 分析：
- $|x \sin x|$随$x$增大呈周期性振荡（因$\sin x$周期为$2\pi$），振幅逐渐增大。
- $e^{\cos x}$周期为$2\pi$，但周期内先减后增。
- 整体：函数$f(x)$在不同区间内既有增也有减，非单调，故排除B。
选项C：周期函数
- 分析：
- $|x \sin x|$中，$x$线性增长导致振幅无限增大，无法满足周期性。
- $e^{\cos x}$周期为$2\pi$，但与$|x \sin x|$相乘后，整体函数无周期性。
- 结论：排除C。
选项D：偶函数
- 验证：
$f(-x) = |-x \sin(-x)| \cdot e^{\cos(-x)} = |x \sin x| \cdot e^{\cos x} = f(x).$- 结论：$f(x)$为偶函数，选项D正确。