题目
填空题（共15题，30.0分）题型说明：共15题，每题2分。31.（2.0分）已知点A（2，4，n），B（3，7，5），C（m，10，9）三点共线，则m=____，n=____。
填空题（共15题，30.0分）
题型说明：共15题，每题2分。
31.（2.0分）已知点A（2，4，n），B（3，7，5），C（m，10，9）三点共线，则m=____，n=____。
题目解答
答案
向量 $\overrightarrow{AB} = (1, 3, 5-n)$，$\overrightarrow{BC} = (m-3, 3, 4)$。
由共线条件，存在 $k$ 使 $\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{BC}$，得：
\[
\begin{cases}
1 = k(m-3) \\
3 = 3k \\
5-n = 4k
\end{cases}
\]
解得 $k = 1$，$m = 4$，$n = 1$。
**答案：**
\[
\boxed{
\begin{array}{cc}
m = 4 \\
n = 1
\end{array}
}
\]
或
\[
\boxed{4, 1}
\]
解析
考查要点：本题主要考查空间直角坐标系中三点共线的条件，即向量共线的坐标表示及比例关系的应用。
解题核心思路：三点共线意味着任意两点构成的向量成比例。通过向量坐标运算，建立方程组求解未知数。
破题关键点：
- 向量共线条件：若三点共线，则向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{BC}$存在实数$k$使得$\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{BC}$。
- 分量对应成比例：根据向量分量分别建立方程，联立求解$k$、$m$、$n$。
步骤1：计算向量$\overrightarrow{AB}$和$\overrightarrow{BC}$
- $\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2, 7-4, 5-n) = (1, 3, 5-n)$
- $\overrightarrow{BC} = C - B = (m-3, 10-7, 9-5) = (m-3, 3, 4)$
步骤2：根据共线条件建立方程
由$\overrightarrow{AB} = k \overrightarrow{BC}$，得：
$\begin{cases}1 = k(m-3) \\3 = 3k \\5 - n = 4k\end{cases}$
步骤3：解方程组
- 求$k$：由第二式$3 = 3k$，得$k = 1$。
- 求$m$：将$k=1$代入第一式$1 = 1 \cdot (m-3)$，解得$m = 4$。
- 求$n$：将$k=1$代入第三式$5 - n = 4 \cdot 1$，解得$n = 1$。