设A是m×n矩阵，C是n阶可逆矩阵，矩阵A的秩为r，矩阵B=AC的秩为r_(1)，则( )A. r＞r_(1)B. r＜r_(1)C. r=r_(1)D. r与r_(1)的关系依C而定

考查要点：本题主要考查矩阵乘法对秩的影响，特别是当乘以可逆矩阵时秩的变化规律。

解题核心思路：

• 可逆矩阵的性质：可逆矩阵作为变换矩阵时，不会改变原矩阵的秩。
• 矩阵乘积的秩：若矩阵$C$可逆，则$AC$的秩与$A$的秩相等。
• 关键结论：右乘可逆矩阵相当于对原矩阵进行列变换，而列变换不改变矩阵的秩。

矩阵乘积的秩性质

1. 可逆矩阵的作用：
   矩阵$C$是$n$阶可逆矩阵，因此其秩为$n$。根据矩阵乘积的秩性质，右乘可逆矩阵不会改变原矩阵的秩，即：
   $\text{rank}(AC) = \text{rank}(A)$

2. 初等变换的视角：
   可逆矩阵$C$可以分解为初等矩阵的乘积，因此$AC$相当于对$A$进行一系列列变换。由于初等变换不改变矩阵的秩，故$\text{rank}(AC) = \text{rank}(A)$。

3. 秩的不等式验证：
   根据秩的不等式$\text{rank}(AC) \geq \text{rank}(A) + \text{rank}(C) - n$，代入$\text{rank}(C) = n$得：
   $\text{rank}(AC) \geq \text{rank}(A)$
   同时，$\text{rank}(AC) \leq \text{rank}(A)$，因此$\text{rank}(AC) = \text{rank}(A)$。

结论

综上，矩阵$B = AC$的秩$r_1$等于原矩阵$A$的秩$r$，故选C。