题目
10. (10.0分) 要设计一个容量为V的长方体开口水箱，问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省。 请输入答案
10. (10.0分) 要设计一个容量为V的长方体开口水箱，问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省。
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题目解答
答案
设长、宽、高分别为 $ x $、$ y $、$ z $，则体积约束为 $ xyz = V $。表面积 $ S = xy + 2xz + 2yz $。
使用拉格朗日乘数法，定义函数
\[ F(x, y, z, \lambda) = xy + 2xz + 2yz + \lambda(xyz - V). \]
求偏导并设为零，解得 $ x = y = 2z $。
代入体积约束得
\[ z = \sqrt[3]{\frac{V}{4}}, \quad x = y = \sqrt[3]{2V}. \]
**答案：**
长：$\sqrt[3]{2V}$，宽：$\sqrt[3]{2V}$，高：$\sqrt[3]{\frac{V}{4}}$。
解析
步骤 1：定义变量
设长方体水箱的长、宽、高分别为 $x$、$y$、$z$，则体积约束为 $xyz = V$。表面积 $S = xy + 2xz + 2yz$，因为水箱是开口的，所以表面积不包括顶部。
步骤 2：使用拉格朗日乘数法
定义函数 $F(x, y, z, \lambda) = xy + 2xz + 2yz + \lambda(xyz - V)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
步骤 3：求偏导并设为零
对 $F$ 求偏导并设为零，得到以下方程组：
\[
\begin{cases}
\frac{\partial F}{\partial x} = y + 2z + \lambda yz = 0, \\
\frac{\partial F}{\partial y} = x + 2z + \lambda xz = 0, \\
\frac{\partial F}{\partial z} = 2x + 2y + \lambda xy = 0, \\
\frac{\partial F}{\partial \lambda} = xyz - V = 0.
\end{cases}
\]
步骤 4：解方程组
从方程组中解出 $x$、$y$、$z$。首先，从方程 $\frac{\partial F}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$ 可以得到 $y + 2z = x + 2z$，从而 $x = y$。将 $x = y$ 代入 $\frac{\partial F}{\partial z} = 0$，得到 $2x + 2x + \lambda x^2 = 0$，即 $4x + \lambda x^2 = 0$。因为 $x \neq 0$，所以 $\lambda = -\frac{4}{x}$。将 $\lambda = -\frac{4}{x}$ 代入 $\frac{\partial F}{\partial x} = 0$，得到 $y + 2z - \frac{4yz}{x} = 0$，即 $x + 2z - \frac{4z^2}{x} = 0$。因为 $x = y$，所以 $x + 2z - \frac{4z^2}{x} = 0$，即 $x^2 + 2xz - 4z^2 = 0$。解这个方程，得到 $x = 2z$。将 $x = 2z$ 代入体积约束 $xyz = V$，得到 $2z \cdot 2z \cdot z = V$，即 $4z^3 = V$，从而 $z = \sqrt[3]{\frac{V}{4}}$。因此，$x = y = 2z = \sqrt[3]{2V}$。
设长方体水箱的长、宽、高分别为 $x$、$y$、$z$，则体积约束为 $xyz = V$。表面积 $S = xy + 2xz + 2yz$，因为水箱是开口的，所以表面积不包括顶部。
步骤 2：使用拉格朗日乘数法
定义函数 $F(x, y, z, \lambda) = xy + 2xz + 2yz + \lambda(xyz - V)$，其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数。
步骤 3：求偏导并设为零
对 $F$ 求偏导并设为零，得到以下方程组：
\[
\begin{cases}
\frac{\partial F}{\partial x} = y + 2z + \lambda yz = 0, \\
\frac{\partial F}{\partial y} = x + 2z + \lambda xz = 0, \\
\frac{\partial F}{\partial z} = 2x + 2y + \lambda xy = 0, \\
\frac{\partial F}{\partial \lambda} = xyz - V = 0.
\end{cases}
\]
步骤 4：解方程组
从方程组中解出 $x$、$y$、$z$。首先，从方程 $\frac{\partial F}{\partial x} = 0$ 和 $\frac{\partial F}{\partial y} = 0$ 可以得到 $y + 2z = x + 2z$，从而 $x = y$。将 $x = y$ 代入 $\frac{\partial F}{\partial z} = 0$，得到 $2x + 2x + \lambda x^2 = 0$，即 $4x + \lambda x^2 = 0$。因为 $x \neq 0$，所以 $\lambda = -\frac{4}{x}$。将 $\lambda = -\frac{4}{x}$ 代入 $\frac{\partial F}{\partial x} = 0$，得到 $y + 2z - \frac{4yz}{x} = 0$，即 $x + 2z - \frac{4z^2}{x} = 0$。因为 $x = y$，所以 $x + 2z - \frac{4z^2}{x} = 0$，即 $x^2 + 2xz - 4z^2 = 0$。解这个方程，得到 $x = 2z$。将 $x = 2z$ 代入体积约束 $xyz = V$，得到 $2z \cdot 2z \cdot z = V$，即 $4z^3 = V$，从而 $z = \sqrt[3]{\frac{V}{4}}$。因此，$x = y = 2z = \sqrt[3]{2V}$。