2.“n阶方阵A可逆”，则下列是其等价命题的有（）个. (i)|A|≠0 (ii)tr(A)≠0 (iii)A的行(列)向量组线性相关 (iv)A与单位矩阵相似 (v)方程组AX=b有唯一解(A为n阶方阵)A. 2B. 3C. 4D. 5

本题考查方阵可逆的等价命题相关知识点。解题思路是依次分析每个命题与“$n$阶方阵$A$可逆”之间的等价关系。

对命题$(i)$的分析

根据方阵可逆的判定定理：$n$阶方阵$A$可逆的充要条件是$\vert A\vert\neq0$。
因为行列式$\vert A\vert\neq0$时，方阵$A$存在逆矩阵$A^{-1}=\frac{1}{\vert A\vert}A^{*}$（其中$A^{*}$是$A$的伴随矩阵），所以“$\vert A\vert\neq0$”与“$n$阶方阵$A$可逆”是等价命题。

对命题$(ii)$的分析

矩阵的迹$tr(A)$是矩阵主对角线元素之和。例如，二阶矩阵$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & -1\end{pmatrix}$，$tr(A)=1 + (-1)=0$，但$\vert A\vert=1\times(-1)-2\times3=-7\neq0$，矩阵$A$可逆；再如矩阵$A = \begin{pmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{pmatrix}$，$tr(A)=0$，且$\vert A\vert = 0$，矩阵$A$不可逆。
这说明$tr(A)\neq0$不能推出$n$阶方阵$A$可逆，$n$阶方阵$A$可逆也不能推出$tr(A)\neq0$，所以“$tr(A)\neq0$”与“$n$阶方阵$A$可逆”不是等价命题。

对命题$(iii)$的分析

$n$阶方阵$A$可逆的充要条件是$A$的行（列）向量组线性无关。
若$A$的行（列）向量组线性相关，则存在不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_n$，使得$k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2+\cdots + k_n\alpha_n = 0$（$\alpha_i$为$A$的行向量），那么$\vert A\vert = 0$，矩阵$A$不可逆；反之，若$A$可逆，则$\vert A\vert\neq0$，$A$的行（列）向量组线性无关。
所以“$A$的行（列）向量组线性相关”与“$n$阶方阵$A$可逆”不是等价命题。

对命题$(iv)$的分析

$n$阶方阵$A$可逆的充要条件是$A$与单位矩阵$E$相似。
若$A$与单位矩阵$E$相似，则存在可逆矩阵$P$，使得$A = P^{-1}EP = E$，显然$A$可逆；反之，若$A$可逆，取$P = E$，则$A = E^{-1}AE$，即$A$与单位矩阵$E$相似。
所以“$A$与单位矩阵相似”与“$n$阶方阵$A$可逆”是等价命题。

对命题$(v)$的分析

对于$n$元线性方程组$AX = b$（$A$为$n$阶方阵），根据克莱姆法则，当$\vert A\vert\neq0$时，方程组有唯一解$X = A^{-1}b$；反之，若方程组$AX = b$有唯一解，说明$A$的列向量组线性无关，从而$\vert A\vert\neq0$，$A$可逆。
所以“方程组$AX = b$有唯一解（$A$为$n$阶方阵）”与“$n$阶方阵$A$可逆”是等价命题。

综上，等价命题有$(i)$、$(iv)$、$(v)$，共$3$个。