如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为H．上升第一个(H)/(4)所用的时间为t1，第四个(H)/(4)所用的时间为t2．不计空气阻力，则((t)_(2))/((t)_{1)}满足（　　） A. 1＜((t)_(2))/((t)_{1)}＜2 B. 2＜((t)_(2))/((t)_{1)}＜3 C. 3＜((t)_(2))/((t)_{1)}＜4 D. 4＜((t)_(2))/((t)_{1)}＜5

本题考查竖直上抛运动的时间分段问题。关键点在于理解物体上升过程中速度逐渐减小，相同位移段所用时间逐渐增加。需利用运动学公式，通过积分或分段计算时间，比较不同阶段的时间比值。

核心思路：

1. 将上升过程分为四个相等的位移段，分析每段的时间。
2. 利用速度位移关系式和积分法，精确计算每段的时间。
3. 通过比值判断选项范围。

运动学分析

运动员上升阶段为匀减速直线运动，初速度为$v_0$，加速度为$-g$，最大高度$H = \frac{v_0^2}{2g}$。需计算第一个$\frac{H}{4}$段（$t_1$）和第四个$\frac{H}{4}$段（$t_2$）的时间比值。

时间积分计算

1. 第一个$\frac{H}{4}$段：
   位移$s$从$0$到$\frac{H}{4}$，速度$v = \sqrt{v_0^2 - 2gs}$。
   时间积分：
   $t_1 = \int_0^{\frac{H}{4}} \frac{ds}{\sqrt{v_0^2 - 2gs}} = \frac{\sqrt{2H}}{\sqrt{g}} \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

2. 第四个$\frac{H}{4}$段：
   位移$s$从$\frac{3H}{4}$到$H$，速度$v = \sqrt{v_0^2 - 2gs}$。
   时间积分：
   $t_2 = \int_{\frac{3H}{4}}^{H} \frac{ds}{\sqrt{v_0^2 - 2gs}} = \frac{\sqrt{2H}}{\sqrt{g}} \cdot \frac{1}{2}$

比值计算

$\frac{t_2}{t_1} = \frac{\frac{\sqrt{2H}}{\sqrt{g}} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2H}}{\sqrt{g}} \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} = \frac{1}{2 \left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right)} \approx 3.73$