题目

题型说明：请计算以下积分题，写出求解过程，只写答案不得分。5. (5.0分) int sqrt(9-x^2)dx

题型说明：请计算以下积分题，写出求解过程，只写答案不得分。 5. (5.0分) $\int \sqrt{9-x^{2}}dx$

题目解答

答案

令 $x = 3\sin t$，则 $dx = 3\cos t \, dt$。代入原积分得： \[ \int \sqrt{9 - x^2} \, dx = \int \sqrt{9 - 9\sin^2 t} \cdot 3\cos t \, dt = \int 9\cos^2 t \, dt. \] 使用余弦二倍角公式 $\cos^2 t = \frac{1 + \cos 2t}{2}$，得： \[ \int 9\cos^2 t \, dt = \frac{9}{2} \int (1 + \cos 2t) \, dt = \frac{9}{2} \left( t + \frac{\sin 2t}{2} \right) + C. \] 由 $\sin 2t = 2\sin t\cos t$ 及 $\sin t = \frac{x}{3}$，$\cos t = \frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}$，得： \[ \frac{9}{2} \left( t + \sin t\cos t \right) + C = \frac{9}{2} \left( \arcsin \frac{x}{3} + \frac{x\sqrt{9 - x^2}}{9} \right) + C. \] 化简得： \[ \boxed{\frac{x\sqrt{9 - x^2}}{2} + \frac{9}{2} \arcsin \frac{x}{3} + C}. \]

解析

本题考查不定积分的计算，解题思路思路是利用三角代换法将被积函数化简，然后通过三角函数的相关公式进行积分计算，最后再将代换变量还原为原变量。

  1. 进行三角代换：
    • 令$x = 3\sin t$，对$x$求导，根据求导公式$(\sin t)^\prime=\cos t^\prime\cos t$，可得$dx = 3\cos t \, dt$。
    • 将$x = 3\sin t$和$dx = 3\cos t \, dt$代入原积分$\int \sqrt{9 - x^{2}dx$中，得到：
      • $\int \sqrt{9 - x^2} \, dx=\int \sqrt{9 - 9\sin^2 t} \cdot 3\cos t \, dt$。
      • 根据三角函数的平方差公式$a^2 - b^2=(a + b)(a - b)$，这里$a = 3$，$b=\sin t$，则$9 - 9\sin^2 t = 9(1 - \sin^2 t)$，又因为$1-\sin^{2}t=\cos^{2}t$，所以$\sqrt{9 - 9\sin^2 t}=\sqrt{9\cos^{2}t}=3\vert\cos t\vert$。
      • 由于在后续计算中我们默认$t\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]$，此时$\cos t\geq0$，所以$\sqrt{9 - 9\sin^2 t}=3\cos t$，则原积分变为$\int 3\cos t\cdot3\cos t \, dt=\int 9\cos^2 t \, dt$。
  2. 利用二倍角公式化简积分：
    • 根据余弦二倍角公式$\cos 2t = 2\cos^{2}t-\sin^{2}t = 2\cos^{2}t - 1$，可得$\cos^2t = 2\cos^{2}t - 1$，移项得到$\cos^{2}t=\frac{1 + \cos 2t}{2}$。
    • 将$\cos^{2}t=\frac{1 + \cos 2t}{2}$代入$\int 9\cos^2 t \, dt$中，得到$\int 9\cos^2 t \, dt = \frac{9}{2} \int (1 + \cos 2t) \, dt$。
  3. 计算积分：
    • 根据积分的加法法则$\int(f(x)+g(x))dx=\int f(x)dx+\int g(x)dx$，对$\frac{9}{2} \int (1 + \cos 2t) \, dt$进行计算：
      • $\frac{9}{2} \int (1 + \cos 2t) \, dt=\frac{9}{2} \left( \int 1 \, dt + \int \cos 2t \, dt \right)$。
      • 因为$\int 1 \, dt=t$，对于$\int \cos 2t \, dt$，令$u = 2t$，则$du = 2dt$，$dt=\frac{1}{2}du$，所以$\int \cos 2t \, dt=\frac{1}{2}\int \cos u \, du=\frac{1}{2}\sin u}+C=\frac{\sin 2t}{2}+C$。
      • 所以$\frac{9}{2} \left( \int 1 \, dt + \int \cos 2t \, dt \right)=\frac{9}{2} \left( t + \frac{\sin 2t}{2} \right) + C$。
  4. 将$t$还原为$x$：
    • 因为$x = 3\sin t$，所以$\sin t=\frac{x}{3}$，根据反正弦函数的定义可得$t = \arcsin\frac{x}{3}$。
    • 又因为$\sin 2t = 2\sin t\cos t$，且$\cos t=\sqrt{1 - \sin^{2}t}=\sqrt{1 - (\frac{x}{3})^2}=\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}$。
    • 则$\frac{9}{2} \left( t + \frac{\sin 2t}{2} \right) + C=\frac{9}{2} \left( t + \sin t\cos t \right) + C$，把$t = \arcsin\frac{x}{3}$，$\sin t=\frac{x}{3}$，$\cos t=\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3}$代入可得：
      • $\frac{9}{2} \left( \arcsin \frac{x}{3} + \frac{x}{3}\cdot\frac{\sqrt{9 - x^2}}{3} \right) + C$。
  5. 化简结果：
    • 对$\frac{9}{2} \left( \arcsin \frac{x}{3} + \frac{x\sqrt{9 - x^2}}{9} \right) + C$进行化简，$\frac{9}{2}\cdot\frac{x\sqrt{9 - x^2}}{9}=\frac{x\sqrt{9 - x^2}}{2}$，$\frac{9}{2}\arcsin\frac{x}{3}$不变，所以最终结果为$\frac{x\sqrt{9 - x^2}}{2} + \frac{9}{2} \arcsin \frac{x}{3} + C$。