题目
不定积分 int (x^2)/(1+x^2) dx = ____
不定积分 $\int \frac{x^2}{1+x^2} dx = \_\_\_\_$
题目解答
答案
我们来求解不定积分：
$$
\int \frac{x^2}{1+x^2} \, dx
$$
---
### 第一步：化简被积函数
观察被积函数：
$$
\frac{x^2}{1+x^2}
$$
我们可以将分子 $x^2$ 写成 $x^2 + 1 - 1$，这样就能拆分成两个分数：
$$
\frac{x^2}{1+x^2} = \frac{x^2 + 1 - 1}{1+x^2} = \frac{x^2 + 1}{1+x^2} - \frac{1}{1+x^2} = 1 - \frac{1}{1+x^2}
$$
---
### 第二步：代入积分
现在原积分变为：
$$
\int \left(1 - \frac{1}{1+x^2}\right) dx = \int 1 \, dx - \int \frac{1}{1+x^2} \, dx
$$
---
### 第三步：分别积分
1. $\int 1 \, dx = x$
2. $\int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \arctan(x)$
---
### 第四步：合并结果
所以原积分为：
$$
x - \arctan(x) + C
$$
其中 $C$ 是积分常数。
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### 最终答案：
$$
\boxed{x - \arctan(x) + C}
$$
解析
本题考查不定积分的计算，解题思路是先对被积函数进行化简，然后利用不定积分的基本性质和常见积分公式进行计算。
- 化简被积函数：
对于被积函数$\frac{x^2}{1 + x^2}$，将分子$x^2$变形为$x^2+1 - 1$，则有：
$\frac{x{x^2}{1 + x^2}=\frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^2}$
根据分式的运算法则$\frac{a - b}{c}=\frac{a\over c}-{b\over c}$，可得：
$\frac{x^2 + 1 - 1}{1 + x^2}=\frac{x^2 + 1}{1 + x^2}-\frac{1}{1 + x^2}$
因为$\frac{x^2 + 1}{1 + x^2}=1$，所以$\frac{x^2}{1 + x^2}=1-\frac{1}{1 + x^2}$。 - 代入积分：
原积分$\int\frac{x^2}{1 + x^2}dx$就变为$\int(1-\frac{1}{1 + x^2})dx$。
根据不定积分的性质$\int(f(x)-g(x))dx=\int f(x)dx-\int g(x)dx$，可得：
$\int(1-\frac{1}{1 + x^2})dx=\int 1dx-\int\frac{1}{1 + x^2}dx$ - 分别积分：
- 根据不定积分基本公式$\int 1dx=x + C_1$（$C_1$为常数），这里我们先不写常数，最后统一写一个总的常数。
- 根据常见积分公式$\int\frac{1}{1 + x^2}dx=\arctan(x)+C_2$（$C_2$为常数），同样先不写常数。
- 合并积分结果：
$\int 1dx-\int\frac{1}{1 + x^2}dx=x-\arctan(x)+C$（$C = C_1 - C_2$为积分常数。