题目

(13)int(dx)/(xsqrt(x^2)-1);

(13)$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^{2}-1}};$

题目解答

答案

令 $t = \frac{1}{x}$，则 $x = \frac{1}{t}$，$dx = -\frac{1}{t^2} dt$。代入原积分得： \[ \int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = -\arcsin t + C = -\arcsin \frac{1}{x} + C. \] 对于 $x > 1$，$t = \frac{1}{x} \in (0, 1)$；对于 $x < -1$，$t = \frac{1}{x} \in (-1, 0)$。因此，结果可表示为： \[ \boxed{-\arcsin \frac{1}{|x|} + C}. \] 或者，利用恒等式 $\arcsin t = \arctan \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}}$，得： \[ -\arcsin \frac{1}{x} = -\arctan \frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} = \arctan \sqrt{x^2 - 1} + C', \] 其中 $C'$ 为常数。故答案也可写为： \[ \boxed{\arctan \sqrt{x^2 - 1} + C}. \]

解析

考查要点：本题主要考查不定积分的计算，特别是通过变量替换将复杂积分转化为标准形式的能力。关键在于选择合适的替换变量简化被积函数。

解题核心思路：观察到分母中的$\sqrt{x^2 - 1}$结构，考虑通过倒数替换$t = \frac{1}{x}$，将原积分转化为关于$t$的简单积分形式，利用标准积分公式$\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = \arcsin t + C$求解。

破题关键点：

  1. 变量替换的选择：通过$t = \frac{1}{x}$简化根号内的表达式。
  2. 积分区间的处理：根据$x > 1$和$x < -1$的不同情况，分析$t$的取值范围，确保结果的通用性。
  3. 结果的等价形式：利用三角恒等式将反正弦函数转换为反正切函数，体现答案的多样性。

变量替换与积分化简

  1. 令$t = \frac{1}{x}$，则$x = \frac{1}{t}$，$dx = -\frac{1}{t^2} dt$。
  2. 代入原积分：
    $\int \frac{dx}{x \sqrt{x^2 - 1}} = -\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}}.$
  3. 计算标准积分：
    $-\int \frac{dt}{\sqrt{1 - t^2}} = -\arcsin t + C.$

结果回代与讨论

  1. 回代$t = \frac{1}{x}$，得：
    $-\arcsin \frac{1}{x} + C.$
  2. 分情况讨论：
    • 当$x > 1$时，$t \in (0, 1)$，结果为$-\arcsin \frac{1}{x} + C$。
    • 当$x < -1$时，$t \in (-1, 0)$，需用绝对值处理，结果为$-\arcsin \frac{1}{|x|} + C$。

等价表达式转换

利用恒等式$\arcsin t = \arctan \frac{t}{\sqrt{1 - t^2}}$，可将结果转换为：
$-\arcsin \frac{1}{x} = \arctan \sqrt{x^2 - 1} + C'.$
其中$C'$为常数，体现答案的另一种形式。