设函数 y=xlnx ，则下列说法正确的是（）. A. 函数在x=(1)/(e)处取得极小值 B. 函数在x=e处取得极大值 C. 曲线y=xlnx在(0,+∞)内是上凸的 D. x=(1)/(e)是函数y=xlnx的驻点

为了确定函数 $ y = x \ln x $ 的正确性质，我们需要分析其一阶和二阶导数。让我们一步步进行。 1. **找到一阶导数 $ y' $:** \[ y = x \ln x \] 使用乘积法则，该法则指出如果 $ y = uv $，那么 $ y' = u'v + uv' $，其中 $ u = x $ 和 $ v = \ln x $，我们得到： \[ y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1 \] 2. **通过将一阶导数等于零来找到临界点:** \[ y' = \ln x + 1 = 0 \] 解 $ x $: \[ \ln x = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e} \] 3. **确定临界点的性质，通过使用二阶导数 $ y'' $:** \[ y' = \ln x + 1 \] 对 $ y' $ 求导： \[ y'' = \frac{1}{x} \] 在 $ x = \frac{1}{e} $ 处评估 $ y'' $: \[ y''\left( \frac{1}{e} \right) = \frac{1}{\frac{1}{e}} = e \] 由于 $ y''\left( \frac{1}{e} \right) > 0 $，函数在 $ x = \frac{1}{e} $ 处有局部最小值。 4. **检查 $ x = \frac{1}{e} $ 是否是驻点:** 驻点是导数为零的点。从我们之前的计算中， $ y'\left( \frac{1}{e} \right) = 0 $，所以 $ x = \frac{1}{e} $ 确实是一个驻点。 5. **检查函数在 $ (0, +\infty) $ 内的凹凸性:** 二阶导数 $ y'' = \frac{1}{x} $ 对于 $ x > 0 $ 是正的。这意味着函数在 $ (0, +\infty) $ 内是上凹的（或简单地说是凹的）。 现在，让我们评估每个选项： - **A: 函数在 $ x = \frac{1}{e} $ 处取得极小值。** 这是正确的，因为 $ y''\left( \frac{1}{e} \right) > 0 $。 - **B: 函数在 $ x = e $ 处取得极大值。** 这是错误的，因为 $ y'(e) = \ln e + 1 = 2 \neq 0 $，所以 $ x = e $ 不是一个临界点。 - **C: 曲线 $ y = x \ln x $ 在 $ (0, +\infty) $ 内是上凸的。** 这是错误的，因为函数在 $ (0, +\infty) $ 内是上凹的。 - **D: $ x = \frac{1}{e} $ 是函数 $ y = x \ln x $ 的驻点。** 这是正确的，因为 $ y'\left( \frac{1}{e} \right) = 0 $。 正确答案是 $\boxed{A}$ 和 $\boxed{D}$。