题目
曲线 ) x=2(e)^t y=(e)^-t . 在 t=0 相应的点处的切线方程为 ()
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定曲线在 t=0 时的点
给定的参数方程为 $x=2e^t$ 和 $y=e^{-t}$。当 $t=0$ 时，$x=2e^0=2$，$y=e^{-0}=1$。因此，曲线在 $t=0$ 时的点为 $(2,1)$。
步骤 2：计算曲线在 t=0 时的导数
为了找到切线方程，我们需要计算曲线在 $t=0$ 时的导数。导数 $\frac{dy}{dx}$ 可以通过参数方程的导数 $\frac{dy}{dt}$ 和 $\frac{dx}{dt}$ 来计算，即 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
对于 $x=2e^t$，$\frac{dx}{dt}=2e^t$。
对于 $y=e^{-t}$，$\frac{dy}{dt}=-e^{-t}$。
因此，$\frac{dy}{dx} = \frac{-e^{-t}}{2e^t} = -\frac{1}{2}e^{-2t}$。
当 $t=0$ 时，$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-2*0} = -\frac{1}{2}$。
步骤 3：写出切线方程
切线方程的一般形式为 $y-y_1=m(x-x_1)$，其中 $(x_1,y_1)$ 是切点，$m$ 是切线的斜率。根据步骤 1 和步骤 2，我们有 $(x_1,y_1)=(2,1)$ 和 $m=-\frac{1}{2}$。因此，切线方程为 $y-1=-\frac{1}{2}(x-2)$，即 $y=-\frac{1}{2}x+2$。将方程转换为标准形式，得到 $x+2y-4=0$。
给定的参数方程为 $x=2e^t$ 和 $y=e^{-t}$。当 $t=0$ 时，$x=2e^0=2$，$y=e^{-0}=1$。因此，曲线在 $t=0$ 时的点为 $(2,1)$。
步骤 2：计算曲线在 t=0 时的导数
为了找到切线方程，我们需要计算曲线在 $t=0$ 时的导数。导数 $\frac{dy}{dx}$ 可以通过参数方程的导数 $\frac{dy}{dt}$ 和 $\frac{dx}{dt}$ 来计算，即 $\frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
对于 $x=2e^t$，$\frac{dx}{dt}=2e^t$。
对于 $y=e^{-t}$，$\frac{dy}{dt}=-e^{-t}$。
因此，$\frac{dy}{dx} = \frac{-e^{-t}}{2e^t} = -\frac{1}{2}e^{-2t}$。
当 $t=0$ 时，$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-2*0} = -\frac{1}{2}$。
步骤 3：写出切线方程
切线方程的一般形式为 $y-y_1=m(x-x_1)$，其中 $(x_1,y_1)$ 是切点，$m$ 是切线的斜率。根据步骤 1 和步骤 2，我们有 $(x_1,y_1)=(2,1)$ 和 $m=-\frac{1}{2}$。因此，切线方程为 $y-1=-\frac{1}{2}(x-2)$，即 $y=-\frac{1}{2}x+2$。将方程转换为标准形式，得到 $x+2y-4=0$。