题目
(2)若连续函数f(x)满足关系式 (x)=(int )_(0)^2xf(dfrac (t)(2))dt+ln 2, 则 f(x)为 ()-|||-(A)e^xln2 (B) e^2x ln2 (C) ^x+ln 2 (D) ^2x+ln 2
题目解答
答案
解析
步骤 1：定义函数并求导
定义 $F(x)={\int }_{0}^{2x}f(\dfrac {t}{2})dt+\ln 2$，则 $f(x)=F(x)$。对 $F(x)$ 求导，得到 $F'(x)=2f(x)$。
步骤 2：求导后的方程
由于 $f(x)=F(x)$，则 $f'(x)=F'(x)=2f(x)$。因此，我们得到微分方程 $f'(x)=2f(x)$。
步骤 3：解微分方程
解微分方程 $f'(x)=2f(x)$，得到 $f(x)=Ce^{2x}$，其中 $C$ 是常数。
步骤 4：确定常数
将 $f(x)=Ce^{2x}$ 代入原方程 $f(x)={\int }_{0}^{2x}f(\dfrac {t}{2})dt+\ln 2$，得到 $Ce^{2x}={\int }_{0}^{2x}Ce^{t}dt+\ln 2$。计算积分，得到 $Ce^{2x}=C(e^{2x}-1)+\ln 2$。因此，$C=\ln 2$。
步骤 5：确定函数
因此，$f(x)=\ln 2e^{2x}$。
定义 $F(x)={\int }_{0}^{2x}f(\dfrac {t}{2})dt+\ln 2$，则 $f(x)=F(x)$。对 $F(x)$ 求导，得到 $F'(x)=2f(x)$。
步骤 2：求导后的方程
由于 $f(x)=F(x)$，则 $f'(x)=F'(x)=2f(x)$。因此，我们得到微分方程 $f'(x)=2f(x)$。
步骤 3：解微分方程
解微分方程 $f'(x)=2f(x)$，得到 $f(x)=Ce^{2x}$，其中 $C$ 是常数。
步骤 4：确定常数
将 $f(x)=Ce^{2x}$ 代入原方程 $f(x)={\int }_{0}^{2x}f(\dfrac {t}{2})dt+\ln 2$，得到 $Ce^{2x}={\int }_{0}^{2x}Ce^{t}dt+\ln 2$。计算积分，得到 $Ce^{2x}=C(e^{2x}-1)+\ln 2$。因此，$C=\ln 2$。
步骤 5：确定函数
因此，$f(x)=\ln 2e^{2x}$。