3 求过M_(1)(1,1,-1)，M_(2)(-2,-2,2)和M_(3)(1,-1,2)三点的平面方程.

为了求过点 $ M_1(1,1,-1) $， $ M_2(-2,-2,2) $ 和 $ M_3(1,-1,2) $ 的平面方程，我们可以使用平面方程的一般形式 $ ax + by + cz + d = 0 $。首先，我们需要找到平面的法向量，可以通过计算向量 $ \overrightarrow{M_1M_2} $ 和 $ \overrightarrow{M_1M_3} $ 的叉积得到。 1. 计算向量 $ \overrightarrow{M_1M_2} $ 和 $ \overrightarrow{M_1M_3} $: \[ \overrightarrow{M_1M_2} = (-2-1, -2-1, 2+1) = (-3, -3, 3) \] \[ \overrightarrow{M_1M_3} = (1-1, -1-1, 2+1) = (0, -2, 3) \] 2. 计算叉积 $ \overrightarrow{M_1M_2} \times \overrightarrow{M_1M_3} $: \[ \overrightarrow{M_1M_2} \times \overrightarrow{M_1M_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-3)(3) - (3)(-2)) - \mathbf{j}((-3)(3) - (3)(0)) + \mathbf{k}((-3)(-2) - (-3)(0)) \] \[ = \mathbf{i}(-9 + 6) - \mathbf{j}(-9) + \mathbf{k}(6) = -3\mathbf{i} + 9\mathbf{j} + 6\mathbf{k} = (-3, 9, 6) \] 所以，平面的法向量为 $ \mathbf{n} = (-3, 9, 6) $。 3. 使用法向量和点 $ M_1(1,1,-1) $ 写出平面方程: \[ -3(x-1) + 9(y-1) + 6(z+1) = 0 \] 展开并简化: \[ -3x + 3 + 9y - 9 + 6z + 6 = 0 \] \[ -3x + 9y + 6z = 0 \] \[ x - 3y - 2z = 0 \] 因此，过点 $ M_1(1,1,-1) $， $ M_2(-2,-2,2) $ 和 $ M_3(1,-1,2) $ 的平面方程为 $\boxed{x - 3y - 2z = 0}$。