已知xarrow0时，f(x)是无穷大，则（ ）一定是无穷小.A. x+f(x)B. f(x)-(1)/(x)C. xf(x)D. (x)/(f(x))

考查要点：本题主要考查无穷大与无穷小的关系，以及极限运算中的运算性质。关键在于理解不同运算组合下极限的变化趋势。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$f(x) \rightarrow +\infty$，需判断各选项中表达式的极限是否为无穷小（即极限为0）。需注意无穷大与无穷小的运算性质，尤其是未定式（如$\infty - \infty$、$0 \cdot \infty$）的处理。

破题关键点：

• 选项D的结构$\frac{x}{f(x)}$是“0除以无穷大”，其极限必为0，与$f(x)$的具体形式无关。
• 其他选项可能因$f(x)$的增长速度不同而导致极限不确定，需通过反例排除。

选项分析

A. $x + f(x)$

• $x \rightarrow 0$，$f(x) \rightarrow +\infty$，故$x + f(x) \rightarrow +\infty$，不是无穷小。

B. $f(x) - \frac{1}{x}$

• 若$f(x)$增长速度远快于$\frac{1}{x}$（如$f(x) = \frac{1}{x^2}$），则$f(x) - \frac{1}{x} \rightarrow +\infty$；
• 若$f(x)$增长速度与$\frac{1}{x}$相当（如$f(x) = \frac{1}{x}$），则$f(x) - \frac{1}{x} \rightarrow 0$；
• 因此结果不确定，不一定是无穷小。

C. $x f(x)$

• 属于“$0 \cdot \infty$”型未定式：
  • 若$f(x) = \frac{1}{x}$，则$x f(x) = 1 \rightarrow 1$；
  • 若$f(x) = \frac{1}{x^2}$，则$x f(x) = \frac{1}{x} \rightarrow +\infty$；
  • 结果不确定，不一定是无穷小。

D. $\frac{x}{f(x)}$

• 分子$x \rightarrow 0$，分母$f(x) \rightarrow +\infty$，故$\frac{x}{f(x)} \rightarrow 0$；
• 无论$f(x)$的具体形式如何，该极限恒为0，一定是无穷小。