题目
在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1．（1）求sin∠ABC；（2）若D为BC上一点．且∠BAD=90°，求△ADC的面积．
在△ABC中，已知∠BAC=120°，AB=2，AC=1．
（1）求sin∠ABC；
（2）若D为BC上一点．且∠BAD=90°，求△ADC的面积．
（1）求sin∠ABC；
（2）若D为BC上一点．且∠BAD=90°，求△ADC的面积．
题目解答
答案
解：（1）在△ABC中，由余弦定理可知 BC°=22+12-2×1×2×cos120°=7，
$BC=\sqrt{7}$，∴由余弦定理可得cos∠ABC=$\frac{7+4-1}{2×\sqrt{7}×2}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
又∠ABC∈（0，π），∴sin∠ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABC}$=$\sqrt{1-\frac{25}{28}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
（2）由（1）知：cos∠ABC=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，sin∠ABC=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴tan∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，∴$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，∴AD=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴△ADC的面积为$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{5}$=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．
$BC=\sqrt{7}$，∴由余弦定理可得cos∠ABC=$\frac{7+4-1}{2×\sqrt{7}×2}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
又∠ABC∈（0，π），∴sin∠ABC=$\sqrt{1-co{s}^{2}∠ABC}$=$\sqrt{1-\frac{25}{28}}$=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
（2）由（1）知：cos∠ABC=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，sin∠ABC=$\frac{\sqrt{21}}{14}$，
∴tan∠ABC=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，∴$\frac{1}{2}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，∴AD=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$，
∴△ADC的面积为$\frac{1}{2}$×2×$\frac{2\sqrt{3}}{5}$=$\frac{2\sqrt{3}}{5}$．
解析
步骤 1：计算BC的长度
根据余弦定理，BC的长度可以通过AB、AC和∠BAC的余弦值计算得出。余弦定理公式为：$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$。
步骤 2：计算sin∠ABC
利用正弦定理，可以计算出sin∠ABC的值。正弦定理公式为：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，其中a、b、c分别是三角形的三边，A、B、C分别是对应的角。
步骤 3：计算△ADC的面积
首先，利用tan∠ABC计算AD的长度，然后利用三角形面积公式计算△ADC的面积。三角形面积公式为：$S = \frac{1}{2} \cdot base \cdot height$。
根据余弦定理，BC的长度可以通过AB、AC和∠BAC的余弦值计算得出。余弦定理公式为：$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle BAC)$。
步骤 2：计算sin∠ABC
利用正弦定理，可以计算出sin∠ABC的值。正弦定理公式为：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$，其中a、b、c分别是三角形的三边，A、B、C分别是对应的角。
步骤 3：计算△ADC的面积
首先，利用tan∠ABC计算AD的长度，然后利用三角形面积公式计算△ADC的面积。三角形面积公式为：$S = \frac{1}{2} \cdot base \cdot height$。